부개동 중등수학과외

부개동중등수학과외, 높이 4와 8의 직육면체 겉넓이·부피를 면별로 확인하기

가로 15, 세로 3, 높이 4인 직육면체의 겉넓이와 부피를 구한 뒤, 높이만 8로 바꾸어 다시 계산하는 문제입니다. 기본 문제를 설명할 수 있어도 높이가 두 배가 되었으니 모든 결과도 두 배라고 판단하면 겉넓이와 부피의 차이를 놓치기 쉽습니다. 겉넓이는 여섯 면의 넓이를 더한 값이고, 부피는 가로·세로·높이가 만드는 공간의 양입니다. 부개동중등수학과외에서는 답을 먼저 비교하기보다, 문제에서 실제로 바뀐 수가 높이뿐이라는 사실과 그 수가 들어가는 면을 표시하며 새 조건을 적용합니다.

가로 15, 세로 3, 높이 4에서 각 면이 만드는 값

기본 과제에서는 가로×세로인 밑면이 15×3=45이고, 같은 밑면이 위아래에 두 개 있습니다. 가로×높이 면은 15×4=60으로 두 개, 세로×높이 면은 3×4=12로 두 개입니다. 따라서 겉넓이는 2×(45+60+12)=234제곱단위입니다. 부피는 세 면을 더하는 것이 아니라 밑면의 넓이 45에 높이 4를 곱하므로 15×3×4=180세제곱단위입니다. 넓이의 단위는 제곱단위, 공간을 채운 양의 단위는 세제곱단위라는 점도 식 옆에 함께 적어 구분합니다.

검산은 면의 개수를 다시 세는 방식으로 할 수 있습니다. 45, 60, 12가 각각 마주 보는 두 면의 넓이이므로 45×2+60×2+12×2=90+120+24=234가 됩니다. 부피는 밑면 45가 높이 4만큼 쌓인 구조이므로 45×4=180으로 원래 식과 일치합니다. 이때 “높이를 바꾸면 넓이가 그대로인 면은 어디인가요?”라고 물으면, 높이가 들어가지 않는 가로×세로의 위·아래 면 두 개가 그대로 45라는 관계를 확인할 수 있습니다.

높이만 8로 바꿀 때 고정되는 면과 달라지는 면

비교 과제에서는 가로 15와 세로 3은 유지되고 높이만 4에서 8로 달라집니다. 그래서 밑면 두 개는 여전히 15×3=45이지만, 가로×높이 면은 15×8=120, 세로×높이 면은 3×8=24로 변합니다. 겉넓이는 2×(45+120+24)=378제곱단위입니다. 밑면 부분 45×2=90은 변하지 않으므로 234의 정확한 두 배인 468이 될 수 없습니다. 높이가 두 배여도 높이를 사용하지 않는 면이 남아 있기 때문입니다.

부피는 밑면 넓이 45가 그대로이고 높이만 8이 되므로 45×8=360, 즉 360세제곱단위입니다. 부피에서는 높이가 곱해지는 항이므로 기본 과제의 180에서 두 배가 되는 것이 맞습니다. 겉넓이와 부피를 같은 방식으로 두 배 처리하지 않도록, 전개도에는 45인 면 두 개에 동그라미를 치고 60→120, 12→24로 바뀐 면에 화살표를 표시합니다. 그 표시가 식의 어느 항을 고쳐야 하는지 직접 보여 줍니다.

새 조건을 혼자 적용했는지 확인하는 기준

다음 확인에서는 풀이를 알려 주기 전에 높이 8만 표시된 문제를 스스로 시작하게 합니다. 먼저 “기본 과제와 비교 과제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”에 높이 4가 8로 바뀌었고 가로·세로는 그대로라고 근거를 들어 말하는지 봅니다. 이어 “부피에서는 높이가 어떤 항에 곱해지나요?”에 밑면 넓이 15×3과 곱한다고 설명하며 15×3×8을 쓸 수 있는지 확인합니다. 겉넓이에서는 45가 두 번 유지되고 120과 24가 각각 두 번 들어간다는 식을 세웠을 때 378제곱단위, 부피에서 360세제곱단위에 도달하는지를 함께 살핍니다. 멈춘다면 답을 대신 주기보다 고정된 면과 변한 면 중 어디까지 표시했는지 기록해, 조건 읽기와 관계 적용 중 어느 지점의 확인이 더 필요한지 이어서 판단합니다.