부개동 고1수학과외
부개동고1수학과외, 두 점 사이의 거리에서 반례로 판단 기준 세우기
좌표평면에 표시된 두 점을 보고 학생은 선분이 가로로 놓였다고 판단해 두 점의 x좌표 차이만 계산했다. 점 A(1, 2), B(4, 6)의 실제 거리를 3이라고 적은 것이다. 그림의 모양에 의존한 판단이 계산 오류의 출발점이었다.
그림의 인상보다 좌표의 변화량을 먼저 읽기
두 점의 x좌표 차이는 3, y좌표 차이는 4이므로 두 점을 연결한 선분은 직각삼각형의 빗변이 된다. 따라서 거리는
√{(4-1)²+(6-2)²}=√(9+16)=5
로 구한다. 교정할 때는 공식을 곧바로 대입하게 하지 않고, 좌표가 표로 제시되어도 먼저 가로 방향 변화량과 세로 방향 변화량을 각각 표시하게 했다. 이 과정을 거치자 학생은 ‘x좌표 차이만으로 거리를 정할 수 있다’는 판단이 A(1, 2), B(4, 6)에서는 성립하지 않는다는 반례를 확인했다.
질문이 바뀌어도 같은 거리 개념을 적용하기
이후에는 두 점 사이의 거리를 직접 묻지 않고, 점 P(2, -1)에서 점 Q(a, 3)까지의 거리가 5가 되도록 하는 a의 값을 찾게 했다. 좌표 변화량을 식으로 옮기면
√{(a-2)²+4²}=5
이므로 (a-2)²=9, a=5 또는 a=-1이다. 하나의 거리 조건이 두 좌표 위치를 만들 수 있다는 점까지 확인하면서, 그림의 한 방향만 보고 값을 정하지 않도록 연습했다.
제곱거리로 결과를 독립적으로 확인하기
마지막에는 계산한 두 점 P와 Q를 각각 대입해 제곱거리 (a-2)²+(3+1)²가 25인지 확인했다. a=5일 때와 a=-1일 때 모두 25가 되어 두 해가 조건을 만족했다. 처음처럼 좌표 한 성분만 사용하는 방식은 이 확인을 통과하지 못하므로, 학생은 거리 문제에서 가로·세로 변화량을 함께 반영해야 한다는 기준을 스스로 정리했다.