갈산동 중2수학과외

표에서 시작해 일차함수 식을 세우는 과정

갈산동의 갈산중학교가 포함된 생활권에서 진행한 중2수학과외에서는 표에 나타난 두 양의 대응 관계를 일차함수 식으로 표현하는 문제를 다뤘습니다.

그래프 모양보다 먼저 확인해야 할 것

문제의 표에는 x가 1, 2, 3, 4로 증가할 때 y가 5, 8, 11, 14로 변하는 값이 제시되어 있었습니다. 학생은 표의 숫자에 동그라미를 치고, y가 3씩 늘어난다는 점을 오른쪽 여백에 적었습니다. 그런데 표를 보기 전에 함께 제시된 그래프가 오른쪽 위로 올라가는 모양이라는 점을 먼저 보고 y=3x라고 적었습니다.

학생은 곧바로 x=1을 대입해 y=3이라고 계산했지만 표의 y값은 5였습니다. 계산 실수가 아니라 그래프의 모양만으로 식을 확정한 것이 출발점의 문제였습니다. 증가한다는 사실만으로는 기울기만 짐작할 수 있고, 그래프가 위로 얼마나 이동했는지는 아직 정해지지 않았습니다.

그래프의 방향은 변화량을 보여 줄 뿐이고, 식 전체를 결정하려면 표의 좌표를 식에 넣어야 한다.

첫 판단을 한 줄만 바꾸기

이미 확인한 y의 증가량 3은 그대로 두었습니다. 바꾼 것은 식을 확정하는 순서 하나였습니다. 학생은 표에서 (1, 5)를 골라 y=3x+b에 직접 대입했습니다.

5=3×1+b이므로 b=2가 나왔고, 식은 y=3x+2가 되었습니다. 이어서 표의 다른 좌표 (3, 11)을 대입해 11=3×3+2가 성립하는지 확인했습니다. 마지막으로 x=4를 넣어 y=14가 나오는지 계산하자 표의 마지막 값과도 일치했습니다. 그래프의 모양을 참고하는 과정은 유지하되, 식을 결정하는 근거를 좌표 대입으로 바꾼 것입니다.

• 표에서 x가 일정하게 늘어날 때 y의 변화량을 확인한다.
• y=ax+b에서 변화량을 a로 정한다.
• 표의 한 좌표를 식에 대입해 b를 구한다.
• 사용하지 않은 다른 좌표를 대입해 식을 검산한다.

표가 아닌 문장으로 바뀐 문제

다음 문제에서는 형식이 달라졌습니다. 기본요금이 2천 원이고, 이용 시간이 한 시간 늘 때마다 3천 원씩 추가되는 요금이라고 했습니다. 학생은 문장 속 ‘한 시간마다 3천 원 증가’를 기울기 3으로 표시하고, ‘기본요금 2천 원’을 y절편 2로 옮겨 식 y=3x+2를 세웠습니다.

이번에는 표가 먼저 주어지지 않았으므로 학생은 문장을 곧바로 식의 두 부분에 대응시켰습니다. x를 이용 시간, y를 전체 요금으로 정한 뒤 x=0일 때 y=2라는 기준도 적었습니다. 이용 시간이 4시간이면 y=3×4+2=14가 되므로, 앞서 표에서 얻은 값과 같은 구조임을 확인했습니다.

또 다른 제시 방식에서는 좌표평면에 점 (0, 2), (1, 5), (2, 8)이 표시되었습니다. 학생은 점 (0, 2)에서 y절편을 읽고, x가 1 증가할 때 y가 3 증가하는 두 점을 골라 기울기를 정했습니다. 그래프가 위로 향한다는 인상만으로 식을 쓰지 않고, 좌표를 읽어 각각의 역할을 나누어 판단했습니다.

도움 없이 다시 세운 식

수업 끝의 새 문제는 표 대신 두 점 (2, 7), (5, 16)을 주고 일차함수의 식을 묻는 형태였습니다. 학생은 먼저 두 점의 x가 3 증가하고 y가 9 증가하므로 기울기가 3이라고 말했습니다. 이어 y=3x+b에 (2, 7)을 대입해 7=6+b, b=1을 얻어 y=3x+1을 세웠습니다.

학생은 이유를 설명한 뒤 두 점을 모두 검산했습니다. x=2이면 y=7, x=5이면 y=16이므로 주어진 좌표와 일치한다고 직접 확인했습니다. 갈산동과 인근 생활권에서 일차함수 단원을 지도하는 갈산동과외나 갈산동중2수학과외에서도 중요한 것은 그래프의 인상을 먼저 믿는 것이 아니라, 변화량과 좌표를 식에 대응시키고 다른 값으로 검산하는 이 판단을 재현하는 일입니다.