갈산동 중1수학과외

갈산동 생활권에서 이어 간 정비례 풀이 기록

갈산대동아파트와 갈산두산아파트가 있는 생활권의 학습 장면에서 학생은 중1 수학의 정비례를 문장, 표, 식, 그래프로 바꾸어 읽는 연습을 이어 갔다. 갈산중학교가 포함된 생활권에서 진행한 갈산동과외에서도 계산 속도보다 두 양의 관계를 정확히 판단하는 과정을 먼저 살폈다.

한 줄의 식보다 먼저 확인한 것

문제에는 같은 가격의 공책을 여러 권 살 때 공책 수와 전체 금액의 관계가 제시되어 있었다. 학생은 공책 3권에 2,400원이라는 정보를 보고 공책 수를 x, 금액을 y로 적은 뒤 곧바로 “y=3x”라고 썼다. 숫자 3을 식에 넣기는 했지만, 그 3이 공책 수인지 권당 가격인지 구분하지 않은 상태였다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 대응하는 두 양을 정하기 전에 계산부터 시작한 데 있었다. 문제의 문장을 다시 읽으며 학생은 “공책 수가 늘면 금액도 같은 비율로 늘어난다”는 조건과 “공책 3권에 2,400원”이라는 대응값을 따로 표시했다. 이어 권당 가격을 구하기 위해 2,400÷3=800을 계산하고, 금액을 y, 공책 수를 x로 정한 뒤 y=800x라고 고쳐 적었다.

표의 값에서 식을 세우고 다시 표로 돌아가기

표에는 공책 수 1, 3, 5와 금액 800, 2,400, 빈칸이 놓였다. 학생은 빈칸에 4,000을 적은 다음 각 금액을 공책 수로 나누어 보았다. 800÷1=800, 2,400÷3=800, 4,000÷5=800이므로 두 양의 관계를 일정하게 해 주는 값이 800임을 확인했다.

그 뒤 식을 그래프로 옮길 때는 가로축에 공책 수, 세로축에 금액을 적고 표의 세 점을 표시했다. 원점과 각 점이 한 직선 위에 놓이는지 확인하면서, 단순히 점 하나를 찍는 것이 아니라 모든 대응값이 같은 규칙을 따르는지 살폈다. 표에서 얻은 식을 다시 표의 세 값에 넣어 계산 결과가 맞는지도 확인했다.

“800은 아무 숫자가 아니라 공책 한 권에 해당하는 금액이므로, 공책 수와 금액을 연결하는 일정한 값이다.”

표가 아닌 문장과 그래프로 바꿔 본 적용

다음 문제에서는 수도꼭지에서 일정한 속도로 물이 나올 때 흐른 시간과 물의 양을 비교했다. 이번에는 표가 먼저 주어지지 않고, 4분 동안 12L가 나온다는 문장만 있었다. 학생은 시간과 물의 양을 각각 x, y로 정하고, 12÷4=3을 계산해 1분에 3L라는 뜻을 문장으로 설명했다. 따라서 물의 양은 y=3x라고 정리했다.

문제의 질문은 식을 구하는 것이 아니라 7분 뒤의 물의 양을 묻고 있었다. 학생은 x에 7을 넣어 y=3×7=21을 얻은 뒤, 그래프에서는 시간 7에 대응하는 세로값이 21인지 확인했다. 또한 4분에 12L라는 처음 조건에 식을 다시 대입해 3×4=12가 성립하는지 검산했다. 질문의 방향이 달라져도 먼저 두 양과 일정한 비율을 찾는 순서는 유지했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

주말 누적복습에서 학생은 새로운 문제를 받았다. 한 봉지에 같은 수의 구슬이 들어 있고, 6봉지에 48개라는 조건만 제시된 문제였다. 도움 없이 학생은 봉지 수를 x, 구슬 수를 y로 정하고, 48÷6=8을 계산했다. “봉지 수와 구슬 수는 봉지 하나당 8개씩 일정하게 대응하므로 y=8x이다”라고 첫 식의 근거를 한 줄로 적었다.

표에 2, 6, 9를 넣어 구슬 수를 16, 48, 72로 채운 뒤, 각 대응값을 식에 넣어 모두 성립하는지 확인했다. 9봉지에 72개라는 결과도 72÷9=8로 되돌려 검산하고, 단위를 봉지와 개로 구분했다. 표에서 식으로, 식에서 문장으로, 문장에서 그래프로 바뀌어도 같은 일정한 대응관계를 찾아야 한다는 점을 스스로 재현한 것이다.

이처럼 갈산동중1수학과외에서는 정비례 문제를 숫자만 바꾸어 반복하지 않고, 조건을 읽는 순서와 표현이 달라져도 대응하는 두 양, 일정한 비율, 원래 조건에 대한 검산을 한 흐름으로 확인한다.