갈산동 고등수학과외

갈산동 고등수학과외에서 도형 단원을 공부하던 학생은 원의 방정식 \(x^2+y^2=169\)을 풀며 좌표 이동을 함께 연습했다. 갈산대동아파트에서 학교까지 이동하는 길이나 삼산푸른솔마을 주변의 위치를 좌표평면에 표시하는 활동처럼, 점의 위치가 바뀌면 좌표가 어떻게 달라지는지 먼저 기록했다. 인천진산과학고등학교와 삼산고등학교를 목표로 하는 학생에게도 이런 표현은 단순 계산보다 풀이의 출발점을 분명하게 만드는 연습이 된다.

원의 방정식에서 이동을 놓친 순간

학생은 중심이 원점이고 반지름이 13인 원을 보고 \(x^2+y^2=169\)을 정확히 적었다. 이어 도형을 오른쪽으로 4, 위로 3만큼 옮기는 문제를 풀면서도 식의 오른쪽 숫자 169는 그대로 두었다. 여기까지는 괜찮았지만, 다음 줄에 새 좌표를 다시 \(x,y\)로 적으면서 이동 전 좌표와 이동 후 좌표를 구별하지 않았다.

그 결과 원래 점을 \((x,y)\), 이동한 점을 \((x+4,y+3)\)으로 두어야 하는데, 이를 생략하고 \(x^2+y^2=169\)을 새 도형의 식처럼 사용했다. 학생이 처음 어긋난 지점은 계산 실수가 아니라 ‘현재 적은 \(x,y\)가 이동 전인지 이동 후인지’ 표시하지 않은 줄이었다. 원의 크기는 보존되지만 중심은 \((4,3)\)으로 바뀌므로, 중심이 원점에 남아 있다고 해석한 순간 도형 전체가 달라진다.

항 번호 대신 좌표의 역할을 분리하기

교정할 때는 풀이 줄마다 항 번호를 붙이고, 각 줄의 좌표가 무엇을 뜻하는지 짧게 적었다. 원래 점을 \(P=(u,v)\), 이동한 점을 \(P'=(u+4,v+3)\)으로 구분하면 혼동이 줄어든다. 원래 식은 \(u^2+v^2=169\)이고, \(u=x-4,\ v=y-3\)으로 바꾸면 이동한 도형의 식은

\((x-4)^2+(y-3)^2=169\)

가 된다. 여기서 \(x,y\)는 이동 후 점의 좌표다. 학생은 처음 식의 169를 바꾸지 않는 이유와 괄호 안 좌표가 달라지는 이유를 나누어 설명했다. 반지름은 그대로이지만 중심이 \((0,0)\)에서 \((4,3)\)으로 옮겨졌다는 사실을 말로 확인한 뒤 전개하도록 했다. 전개한 식이 필요할 때는 \(x^2+y^2-8x-6y-144=0\)으로 정리할 수 있지만, 이동의 의미를 확인하는 단계에서는 완전제곱 형태를 유지하는 편이 오류를 찾기 쉽다.

조건을 바꾼 새 문제에서 혼자 적용하기

다음에는 반지름이나 이동 방향을 바꾸었다. 중심이 원점인 원 \(x^2+y^2=25\)를 왼쪽으로 2, 아래로 6만큼 옮긴 뒤 학생이 직접 식을 세우게 했다. 새 중심은 \((-2,-6)\), 반지름은 5이므로

\((x+2)^2+(y+6)^2=25\)

라고 작성해야 한다. 이번에는 중간 결론을 미리 적지 않고, ‘이동 후 좌표에서 원래 좌표를 어떻게 표현하는가’를 혼자 결정하게 했다. 이어 위로만 7만큼 옮긴 경우에는 중심이 \((0,7)\)이므로 \(x^2+(y-7)^2=25\)가 된다는 점까지 비교했다. 좌우 이동에서는 \(x\)의 괄호 부호가 반대로 보이고, 상하 이동에서는 \(y\)의 부호가 달라지는 이유를 좌표를 되돌리는 과정으로 설명했다.

완성된 식을 도형으로 되돌려 검증하기

마지막에는 전개식만 보고 맞았다고 판단하지 않았다. 이동 전 원 위의 점 \(P=(13,0)\)을 골라 오른쪽 4, 위쪽 3으로 옮긴 점 \(P'=(17,3)\)을 새 식에 대입했다. \((17-4)^2+(3-3)^2=169\)가 성립하므로 점이 원 위에 있음을 확인했다. 원점은 새 원의 중심이 아니므로 \(0^2+0^2=169\)을 검사하는 방식은 적절하지 않다는 점도 함께 짚었다.

두 점 \(P=(13,0)\), \(Q=(0,13)\)을 같은 벡터 \((4,3)\)만큼 이동시키면 \(P'=(17,3)\), \(Q'=(4,16)\)이다. 이동 전 거리는 \(\sqrt{338}\), 이동 후 거리도 \(\sqrt{(13)^2+(-13)^2}=\sqrt{338}\)로 같다. 두 선분의 방향벡터 역시 각각 \((-13,13)\)으로 변하지 않는다. 식을 다시 전개하는 것보다 원래 점의 재대입, 거리 비교, 각도 보존을 함께 확인하면서 도형 전체가 같은 방식으로 이동했는지 검증했다.

자주 묻는 질문

이동하면 169도 바뀌나요?

반지름이 변하지 않는 평행이동이라면 169는 그대로다. 중심을 나타내는 좌표가 바뀐다.

왜 오른쪽으로 4인데 식에는 \(x-4\)가 들어가나요?

새 좌표 \(x\)에서 원래 좌표를 찾으면 \(u=x-4\)가 되기 때문이다.

전개형과 완전제곱형 중 무엇을 먼저 쓰나요?

중심과 반지름을 확인할 때는 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 형태가 더 직접적이다.

검산할 점은 어떻게 고르나요?

원래 식을 쉽게 만족하는 점을 고른 뒤 같은 이동 벡터를 적용해 새 식에 대입하면 된다.