갈산동 고3수학과외

조건 하나가 바꾼 공통·선택과목 연결 문제의 표본공간

갈산동 생활권에서 고3 수학을 지도하며 만난 학생의 풀이에는 공통과목에서 익힌 경우의 수 판단과 선택과목의 확률 해석이 함께 드러났다. 인천고3수학과외 수업에서 구간을 좁혀 다시 풀게 하자, 학생은 계산기를 찾기보다 문제 문장에 있는 제한 조건에 먼저 표시를 했다. 이 첫 행동이 이번 사건의 출발점이었다.

문제는 다음과 같았다. 주머니에 빨간 공 2개, 파란 공 3개가 있고 두 공을 동시에 꺼낸다. 두 공의 색이 다를 확률을 구하되, “적어도 한 개는 파란 공이다”라는 조건이 붙어 있었다. 학생은 전체 경우를 \(\binom52=10\)으로 두고, 서로 다른 색인 경우를 \(2\cdot3=6\)으로 세어 \(6/10=3/5\)라고 적었다.

계산보다 먼저 확인했어야 할 문장

틀린 지점은 서로 다른 색을 세는 과정이 아니었다. 조건을 식에 넣기 전에 전체 표본공간을 그대로 사용한 것이 최초 오류였다. “적어도 한 개는 파란 공”이라는 조건 아래에서는 빨간 공 두 개를 뽑은 경우가 처음부터 제외된다. 그런데 학생은 조건을 풀이 끝부분의 참고 문장처럼 취급해, 허용되지 않는 후보까지 분모에 남겨 두었다.

종이에 적힌 해설을 가린 뒤 학생에게 틀린 줄을 직접 찾게 했다. 학생은 먼저 조건을 첫 줄 옆에 상자로 옮겼다. 이어 조건을 만족하는 전체 경우를 다시 만들었다. 빨간 공 두 개를 제외하면 허용되는 경우는 \(10-\binom22=9\)개이고, 서로 다른 색인 6개는 모두 조건을 만족한다. 따라서 조건부확률은 \(6/9=2/3\)이다. 빠진 조건을 첫 줄에 복원했을 뿐, 이후의 색별 경우 계산은 그대로 둔 것이 교정의 핵심이었다.

후보 범위와 풀이 근거를 분리하다

학생은 이전에는 “계산된 후보”와 “문제에서 허용한 후보”를 한 줄에 섞어 적었다. 그래서 답이 나온 뒤에야 조건을 확인하려 했다. 이번에는 표를 두 칸으로 나누었다. 왼쪽에는 조건으로 제한된 표본공간을, 오른쪽에는 그 안에서 원하는 사건을 세는 근거를 기록했다. 이 방식으로 쓰면 분모는 조건사건의 크기이고, 분자는 그 조건 안에서 목표를 만족하는 경우라는 사실이 식에 바로 드러난다.

같은 판단이 유지되는지 확인하기 위해 숫자만 바꾸지 않고 조건의 위치를 바꾼 문제를 제시했다. 1부터 6까지의 정수 중 서로 다른 두 수를 차례로 뽑을 때, 첫 번째 수가 짝수라는 조건 아래 두 수의 합이 7 이상일 확률을 묻는 문제였다. 학생은 순서를 고려한 전체 경우를 무작정 \(6\cdot5\)로 쓰지 않고, 먼저 첫 번째 수를 짝수인 2, 4, 6으로 제한했다. 조건부 표본공간은 \(3\cdot5=15\)개였다.

그 뒤 첫 수가 2일 때 두 번째 수는 5, 6으로 2개, 첫 수가 4일 때는 3, 5, 6으로 3개, 첫 수가 6일 때는 1, 2, 3, 4, 5로 5개임을 나누어 세었다. 원하는 경우는 10개이므로 답은 \(10/15=2/3\)이다. 이전 문제의 “빨간 공 두 개 제외”를 외운 것이 아니라, 조건에 따라 분모를 새로 만들고 사건을 그 안에서 세는 구조를 적용한 것이다.

해설이 사라진 뒤에도 남은 첫 표시

마지막 검증에서는 문항 순서를 섞은 기출 세트를 사용했다. 학생은 먼저 조건 문장을 동그라미 치고, 그 조건이 표본공간의 범위를 어떻게 바꾸는지 한 줄로 적었다. 이후 계산을 끝낸 뒤에는 후보가 원래 조건을 모두 만족하는지 역으로 확인했다. 정수 조건이 들어간 변형에서도 “첫 번째 수는 짝수”를 별도 상자로 남겨 분모를 다시 계산했다.

마지막으로 다른 풀이인 표 작성과 직접적인 경우의 수 계산을 각각 사용해 같은 결론을 대조했다. 답만 맞히는 데 그치지 않고, 첫 식의 분모가 왜 그 범위에서 출발했는지 설명할 수 있었다. 갈산동과외 학습에서 확인한 변화도 여기에 있었다. 조건을 계산 뒤에 붙이는 습관이 사라지고, 조건을 읽는 순간 허용 범위를 먼저 정하는 판단이 새 문제에서도 유지되었다. 인천고3수학과외에서 강조한 것은 복잡한 공식이 아니라, 결론에 들어가기 전 어떤 경우를 애초에 남겨야 하는지 스스로 밝히는 과정이었다.