용호동 고1수학과외







용호동 고1수학과외: 이차방정식의 근의 위치와 경계값 처리
분포고등학교와 예문여자고등학교의 기출 문항을 참고하던 학생은 이차방정식의 계산 자체는 빠르게 끝냈지만, 두 근이 구간의 끝에 놓일 때 해의 범위를 잘못 적었다. 지역에서는 LG메트로시티아파트 생활권의 내신 대비 문제를 중심으로 풀이를 점검했다.
답은 맞았지만 경계에서 해석이 흔들린 장면
학생은 x²-5x+6≤0을 인수분해해 근이 2와 3이라는 사실까지 정확히 구했다. 그러나 수직선에 2와 3을 표시하면서 끝점을 제외해 2<x<3이라고 답했다. 부등호가 ‘이하’라는 조건을 해의 범위에 반영하지 못한 것이 핵심 오류였다.
근을 구하는 단계와 근이 포함되는지를 판단하는 단계는 구분해야 한다.
경계값을 원식에 넣어 포함 여부 확인하기
풀이를 고칠 때 여러 방법을 섞지 않고, 경계값 2와 3을 원식에 직접 대입하는 한 가지 기준을 세웠다.
- x=2이면 2²-5×2+6=0
- x=3이면 3²-5×3+6=0
두 값 모두 부등식 x²-5x+6≤0을 만족하므로 수직선에서 끝점을 포함해야 한다. 따라서 해는 2≤x≤3이다. 학생은 답만 고치는 대신, 경계값을 포함할지 결정한 근거를 식 옆에 짧게 남겼다.
질문 방향이 바뀐 부등식에 적용
다음에는 (x-1)(x+4)>0의 해를 구하고, “두 근 사이인가?”가 아니라 “두 근의 바깥쪽인가?”라는 문장으로 조건을 제시했다. 경계값 -4와 1을 원식에 대입하면 각각 0이 되어 엄격한 부등식을 만족하지 않는다. 부호가 양수가 되는 구간은 바깥쪽이므로 해는 x<-4 또는 x>1로 정리된다.
새 변형에서의 독립 확인
재시험에서는 그래프나 풀이 순서를 보지 않고, 해의 범위에서 임의의 수를 하나 골라 원식의 부호를 확인했다. 예를 들어 x=0을 대입하면 0²-5×0+6=6으로 양수가 되어 x²-5x+6≤0의 해에 포함될 수 없음을 확인했다. 이후 경계값 2와 3은 원식에서 0이 된다는 점까지 대조해, 내부 구간과 끝점의 처리 기준을 스스로 구분했다.