용호동 고등수학과외

용호동 고등수학과외에서는 함수의 식을 계산하는 데서 멈추지 않고, 식의 변화가 구간별로 어떻게 나타나는지 설명하는 연습을 진행합니다. 분포고등학교와 예문여자고등학교 학생들이 자주 마주하는 이 단원은 그래프를 그리는 속도보다 증가·감소를 판단한 근거를 남기는 습관이 풀이의 정확도를 좌우합니다.

식은 읽었지만 변화 방향을 놓친 순간

학생에게 f(x)=x²-13x+4를 제시하고 증가와 감소 구간을 쓰게 하자, 처음에는 x²의 계수가 양수라는 표시만 남겼습니다. 이어 “꼭짓점의 x좌표를 구해 보자”고 하자 미분이나 완전제곱을 떠올리지 못하고, 곧바로 y절편 4와 x절편을 찾으려 했습니다. 판별식은 169-16=153이므로 두 근은 존재하지만, 그 근이 증가·감소가 바뀌는 지점을 뜻하지는 않습니다. 학생이 첫 줄에 표시한 “교점부터 구한다”는 선택이 정확한 첫 오류였습니다.

증가·감소는 그래프가 x축을 어디서 만나는지가 아니라, 꼭짓점을 지나며 기울기의 방향이 어떻게 바뀌는지를 묻는 문제다.

꼭짓점과 변화 방향을 한 줄로 연결하기

먼저 식을 f(x)=(x-13/2)²-153/4로 바꾸었습니다. 제곱항은 항상 0 이상이므로 x가 13/2보다 왼쪽에서 꼭짓점에 가까워질수록 함수값은 작아지고, 꼭짓점 오른쪽으로 멀어질수록 커집니다. 따라서 감소 구간은 (-∞,13/2), 증가 구간은 (13/2,∞)입니다. 꼭짓점에서는 방향이 바뀌므로 한쪽 구간에 겹쳐 넣지 않고 경계로 따로 기록했습니다.

이후 학생은 같은 내용을 그래프의 왼쪽과 오른쪽에 화살표로 표시했습니다. 위로 열린 포물선의 왼쪽 가지는 오른쪽으로 갈수록 내려오고, 오른쪽 가지는 올라간다는 그림을 직접 그린 뒤, “계수의 부호 확인 → 꼭짓점 x좌표 계산 → 양쪽 방향 기록” 순서로 풀이 경로를 정리했습니다. 근을 구하는 절차와 변화 방향을 찾는 절차가 서로 다른 목적을 가진다는 점도 나란히 적었습니다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 적용하기

다음에는 g(x)=x²-10x+7을 제시했습니다. 학생은 완전제곱을 이용해 g(x)=(x-5)²-18로 정리하고, 감소 구간을 (-∞,5), 증가 구간을 (5,∞)로 적었습니다. 이어 그래프가 아래로 열린 h(x)=-x²+10x-7로 조건을 바꾸자, 꼭짓점 x좌표는 같지만 방향이 반대가 된다는 점을 이용해 증가 구간을 (-∞,5), 감소 구간을 (5,∞)로 바꾸어 썼습니다. 계수의 부호와 꼭짓점 위치를 따로 확인한 결과입니다.

두 점의 함수값으로 끝내는 검증

마지막에는 그래프 모양을 다시 외우게 하지 않고, 원래 식에 대표 x값을 대입하게 했습니다. 감소 구간에서 5와 6을 골라 계산하면 f(5)=-36, f(6)=-38이므로 x가 커질 때 함수값이 작아집니다. 증가 구간에서는 7과 8을 대입해 f(7)=-38, f(8)=-36을 얻어 함수값이 커지는 것을 확인합니다. 꼭짓점 x좌표가 13/2라는 사실과도 맞습니다. 단, 서로 다른 구간의 점을 무작정 비교하지 않고 각 구간 안의 두 점을 골라야 한다는 조건을 덧붙였습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

수업 진행 예시

식의 변형을 다시 확인하기

x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.

조건 때문에 제외되는 값 찾기

분모가 x − 2인 식에서는 x = 2를 사용할 수 없습니다. 풀이에서 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 확인하고, 약분이나 식의 변형 뒤에도 처음의 제한 조건을 남깁니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준

학교급	방문 수업	화상 수업
고등	33~50만 원	30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

수업 이용에 관한 자주 묻는 질문

수업 준비와 비용·보강에 관한 안내도 함께 확인해 주세요.

자주 묻는 질문

근을 먼저 구하면 안 되나요?

구해도 되지만 증가·감소 구간을 결정하는 직접적인 기준은 아닙니다. 근은 x축과의 교점을 알려 주고, 변화 방향은 꼭짓점과 그래프의 방향으로 판단합니다.

꼭짓점의 x좌표는 어떻게 구하나요?

ax²+bx+c에서 -b/(2a)를 사용하거나 완전제곱으로 식을 바꾸면 됩니다. 두 방법 중 한 가지를 선택한 뒤 다른 방법으로 결과를 확인하면 좋습니다.

꼭짓점은 증가 구간에도 포함되나요?

보통 구간을 나눌 때 꼭짓점은 경계로 두고, 왼쪽과 오른쪽의 변화 방향을 각각 씁니다. 문제에서 구간 표기 방식을 따로 요구하면 그 조건을 따릅니다.

아래로 열린 포물선도 같은 순서인가요?

꼭짓점 위치를 찾은 뒤 그래프 방향을 확인하는 순서는 같습니다. 다만 왼쪽과 오른쪽의 증가·감소 방향이 서로 뒤집힙니다.