용당동 중3수학과외

용당동 중3수학과외, 전개 전에 결과의 모양을 읽는 연습

용당동과외 수업에서 다항식의 곱셈을 다룰 때는 계산을 빨리 하는 것보다 전개하기 전에 차수와 항 개수를 예상하는 일이 중요합니다. 용당동중3수학과외에서도 같은 기준으로 식의 모양을 먼저 읽는 연습을 진행할 수 있습니다.

계산보다 먼저 적어 본 예상

학생에게 다음 식을 제시했습니다.

(2x－3)(x²＋x＋4)

두 인수 중 첫 번째의 최고차항은 2x, 두 번째의 최고차항은 x²이므로 가장 높은 차수는 3차가 될 수 있습니다. 또 첫 번째 인수의 세 항이 각각 뒤 인수의 세 항과 곱해지므로, 전개 직후에는 3×3, 즉 9개의 곱이 생길 것이라고 예상할 수 있습니다. 다만 같은 종류의 항이 합쳐지면 최종 항 개수는 줄어들 수 있으므로 ‘반드시 9항’이라고 단정하지 않는 것이 경계입니다.

학생은 풀이 공책에 다음처럼 기록했습니다.

2x·x²＝2x³
2x·x＝2x²
2x·4＝8x
－3·x²＝－3x²
－3·x＝－3x
－3·4＝－12

여기까지는 항별 곱을 적는 방향이 맞았습니다. 그런데 문제의 조건을 바꾸어 첫 번째 인수를 (2x－3)이 아니라 (2x＋3)으로 읽어야 하는 연습에서, 학생은 가운데와 마지막 줄의 부호를 그대로 두었습니다.

2x³＋2x²＋8x－3x²－3x－12

결과가 틀어지기 직전의 한 판단

최종 계산인 동류항 정리에서 실수한 것이 최초 오류는 아니었습니다. 학생은 괄호 앞의 ‘＋3’을 확인하지 않고, 앞 문제의 ‘－3’을 그대로 적용했습니다. 즉, 조건이 바뀌었는데도 각 항을 곱하기 전에 계수와 부호를 다시 읽지 않은 것이 가장 먼저 어긋난 지점입니다. 이때 차수 예상은 여전히 3차이고, 전개 직후 곱의 개수도 6개이지만, 부호 판단 하나가 결과 전체를 바꿉니다.

고친 것은 항별 곱의 부호뿐

다른 풀이 방법을 새로 도입하지 않고, 바뀐 조건에 맞게 각 곱을 다시 적었습니다.

(2x＋3)(x²＋x＋4)
＝2x·x²＋2x·x＋2x·4＋3·x²＋3·x＋3·4
＝2x³＋2x²＋8x＋3x²＋3x＋12
＝2x³＋5x²＋11x＋12

이번에는 첫 인수의 항 2개와 두 번째 인수의 항 3개가 만나 전개 직후 6개의 곱이 생겼습니다. 최종식은 4개의 항이지만, 이는 x²항끼리, x항끼리 합쳐졌기 때문입니다. 최고차항 2x³이 남아 3차라는 예상도 유지됩니다. 교정의 핵심은 계산 전체를 다시 바꾸는 것이 아니라, 조건에 맞춰 항별 곱을 빠짐없이 적고 그 뒤에만 정리하는 일이었습니다.

모양을 바꾼 독립 문제

다음에는 곱셈 순서와 부호의 위치를 바꾸어 제시했습니다.

(x²－4x＋1)(－2x＋5)

학생은 먼저 첫 인수가 3항, 둘째 인수가 2항이므로 전개 직후 6개의 곱이 나온다고 말했습니다. 최고차항은 x²과 －2x의 곱에서 생기는 －2x³이므로 3차라고 판단했습니다. 이어 실제 전개를 하지 않은 상태에서, 같은 차수의 항이 합쳐질 수 있어 최종 항 개수는 6개보다 적을 가능성이 있다고 설명했습니다.

조건의 위치가 앞이 아니라 뒤에 있어도 기준은 같았습니다. 항의 순서가 달라졌을 뿐, 각 항이 상대 인수의 모든 항과 곱해지는지, 계수와 부호를 정확히 읽는지가 판단의 기준이었습니다. 학생은 이 문제에서 1·(－2x), 1·5처럼 계수가 1인 항도 빠뜨리지 않고 표시했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 기록

마지막에는 다음 문제를 별도 도움 없이 풀게 했습니다.

(－x＋2)(3x²－x－6)

학생은 “첫 번째 인수 2항, 두 번째 인수 3항이므로 전개 직후 6개이다. 최고차항은 (－x)·3x²에서 생기는 －3x³이므로 3차이다. 다만 같은 차수의 항이 합쳐지면 최종 항 수는 6개보다 작아질 수 있다.”라고 먼저 설명했습니다.

그 뒤 항별로 계산했습니다.

－3x³＋x²＋6x＋6x²－2x－12
＝－3x³＋7x²＋4x－12

끝으로 x＝1을 대입해 원래 곱은 (－1＋2)(3－1－6)＝－4, 전개식도 －3＋7＋4－12＝－4라고 확인했습니다. 전개 전 예상한 3차와 항별 곱의 개수가 풀이와 맞고, 같은 값을 얻었으므로 부호와 항 누락이 없다는 근거까지 스스로 설명했습니다.