용당동 고3수학과외

부분합의 끝점에서 항번호를 다시 세운 풀이

용당동 생활권의 학습 상담에서 학생이 가져온 문항은 부분합과 일반항을 함께 묻는 유형이었다. 이런 문항을 다룰 때 용당동고3수학과외 수업에서는 계산 속도보다 먼저 합의 시작 번호와 끝 번호를 확인하도록 지도한다. 학생의 첫 메모에는 다음과 같이 적혀 있었다.

“수열 \(a_n=2n-1\)에 대하여 \(T_k=\sum_{n=2}^{k}a_n\)일 때, \(T_k=48\)을 만족하는 \(k\)를 구하여라.”

학생은 곧바로 \(1+3+\cdots +(2k-1)=k^2\)를 떠올려 \(k^2=48\)을 세웠다. 그러나 이 합은 \(n=1\)부터 시작한 전체 부분합이다. 실제 \(T_k\)에는 첫 항 \(a_1=1\)이 빠져 있으므로, \(k\ge2\)에서

\(T_k=(1+3+\cdots +(2k-1))-1=k^2-1\)

이 되어야 한다. 학생이 처음 어긋난 지점은 복잡한 계산이 아니라, 익숙한 부분합 공식을 적용하기 전에 합의 시작 항을 복원하지 않은 것이었다. 일반적인 \(1\)번 항부터의 규칙을 경계값 \(n=2\)에도 그대로 덮어씌운 셈이다.

합의 범위를 식 옆에 고정하다

풀이를 지우기보다 식의 오른쪽에 작은 범위표를 만들었다.

• 전체 합: \(a_1+a_2+\cdots+a_k=k^2\)
• 문제의 합: \(a_2+\cdots+a_k=k^2-1\)
• 허용되는 항번호: \(k\ge2\)

그다음 \(k=2\)를 직접 대입했다. 원래 합은 \(a_2=3\)이고, 수정한 식도 \(2^2-1=3\)이었다. 반면 \(k=1\)을 넣으면 \(a_2\)부터 \(a_1\)까지의 합이 되어 문제의 합 범위를 벗어난다. 따라서 \(k^2-1=48\)에서 \(k^2=49\), \(k=7\)을 얻으며, 실제로 \(a_2+\cdots+a_7=3+5+7+9+11+13=48\)이다.

교정은 공식을 새로 외우는 방식이 아니었다. 합의 시작점을 전체 부분합에서 한 항만큼 빼고, 가장 작은 허용 항번호를 직접 대입하는 두 행동으로 제한했다. 사용하지 않은 \(a_1\)은 식 옆에 동그라미를 쳐서 다시 포함하지 않도록 했다.

매개변수가 붙은 변형에서 범위를 분리하다

해설을 덮은 뒤, 조건을 바꾼 문항을 제시했다.

\(b_n=3n+1\), \(U_k=\sum_{n=3}^{k}b_n\)일 때 \(U_k=75\)를 만족하는 자연수 \(k\)를 구하여라.

이번에는 홀수의 제곱 공식을 바로 떠올릴 수 없도록 항과 시작 번호를 바꾸었다. 학생은 먼저 \(b_3+b_4+\cdots+b_k\)라고 적고, 항의 개수를 \(k-2\)로 기록했다. 등차수열의 첫 항은 \(b_3=10\), 마지막 항은 \(b_k=3k+1\)이므로

\[ U_k=\frac{(k-2)\{10+(3k+1)\}}2 =\frac{(k-2)(3k+11)}2. \]

따라서 \((k-2)(3k+11)=150\)이다. \(k\ge3\)이라는 경계를 먼저 적은 뒤 \(k=5\)를 대입하면 \(3\cdot14=42\), \(k=7\)이면 \(5\cdot32=160\)이므로 정수해가 없음을 확인한다. 이 변형은 일부러 조건과 값이 맞지 않게 구성된 문항이다. 학생은 계산을 억지로 이어 가지 않고, 가능한 \(k\)를 조사한 뒤 “주어진 \(75\)를 만드는 자연수 \(k\)가 없다”고 결론을 바꾸었다.

이 장면에서 확인한 것은 답 자체보다 판단의 유지였다. 처음처럼 익숙한 공식을 끌어오지 않고, 시작 항 \(3\), 항의 개수 \(k-2\), 최소 항번호 \(k\ge3\)을 분리해 적었다. 마지막으로 \(k=3\)일 때 \(U_3=10\), \(k=7\)일 때 \(U_7=80\)을 직접 계산해 75가 두 값 사이에 있음을 대조했다.

답보다 먼저 남긴 경계 기록

새 기출 문항에서는 보기마다 부분합의 시작 번호가 달랐지만, 힌트 없이 학생은 합 기호 아래의 시작값과 위의 끝값을 먼저 표시했다. 후보를 제외할 때도 단순히 “계산이 안 됨”이라고 쓰지 않고, “\(k<\) 시작 번호라서 합의 항 범위가 성립하지 않음”이라고 이유를 남겼다. 용당동과외 상담에서 이 풀이를 다시 점검할 때도 항번호와 합의 규칙을 따로 적는 습관이 유지되었고, 부분합의 차가 실제로 해당 항이 되는지 재대입하여 결론을 확인했다.