주안동 중1수학과외

표의 끝에서 정비례를 다시 판단한 풀이

주안동과외 수업에서 학생은 제물포여자중학교가 포함된 생활권의 상황을 바탕으로 만든 문제를 풀었다. 문제는 “공책 한 권의 가격이 800원일 때, 공책 수와 전체 금액의 관계를 표로 나타내고 정비례인지 판단하라”는 내용이었다. 표에는 공책 수가 1, 2, 3, 4일 때 금액이 800, 1600, 2400, 3200원으로 제시되었고, 마지막에 ‘공책을 0권 사는 경우도 표에 넣을 수 있는가?’라는 질문이 붙어 있었다.

학생은 먼저 공책 수와 금액을 차례로 적었다.

공책 수: 1, 2, 3, 4
금액: 800, 1600, 2400, 3200
금액은 공책 수가 늘 때마다 800원씩 증가하므로 정비례이다.

여기까지의 계산은 맞았다. 그러나 0권을 표에 넣을 수 있는지 묻자 학생은 “표에 공책 수 1부터 적혀 있으니 0은 범위 밖이다”라고 판단했다. 결과를 틀리게 계산한 것이 아니라, 표에 보이지 않는 경계 조건을 확인하지 않은 순간 풀이가 어긋났다. 정비례인지 살필 때는 값이 일정하게 늘어나는지만 보는 것이 아니라, 한 양이 0일 때 다른 양도 0이 되는지 함께 확인해야 했다.

빠진 한 칸을 식으로 확인하기

학생이 이미 적은 표는 그대로 두고, 공책 수를 x, 금액을 y라고 표시하게 했다. 한 권에 800원이므로 두 양의 관계는 y=800x라고 썼다. 이제 표의 빈칸에 x=0을 넣었다.

y=800×0=0
따라서 0권이면 금액은 0원이다.

이 계산으로 0은 단순히 표에서 제외된 숫자가 아니라 관계를 확인하는 중요한 경계값임을 확인했다. 또 표의 각 대응값을 식에 넣어 800=800×1, 1600=800×2처럼 성립하는지 차례로 점검했다. 학생은 “공책 수가 두 배가 되면 금액도 두 배가 되는 것만 본 것이 아니라, x=0일 때 y=0인지까지 확인해야 정비례라고 말할 수 있다”고 풀이 이유를 고쳐 적었다.

남광로얄아파트와 대명아파트가 있는 생활권에서 사용할 수 있는 다른 상황으로 문제의 겉모양도 바꾸었다. 이번에는 표가 먼저 주어지지 않고, “자전거 대여 시간에 따라 이용료가 일정한 비율로 정해진다. 1시간은 1500원, 2시간은 3000원이다”라는 문장만 제시했다. 학생은 문장에서 시간과 이용료를 각각 x와 y로 정한 뒤, y=1500x라고 나타냈다. 이어 시간 0을 넣으면 이용료도 0원이 된다고 설명했다.

표에서 그래프로 옮긴 뒤 다시 표로 돌아오기

다음 과제에서는 시간과 이용료의 관계를 좌표로 나타냈다. 학생은 가로축에 시간을, 세로축에 이용료를 놓고 (0,0), (1,1500), (2,3000)을 표시했다. 점을 찍은 뒤 “이 점들은 원점에서 시작하는 한 관계를 나타낸다”고 말했다. 그래프를 그리는 과정에서도 축의 순서를 바꾸지 않고, 표의 첫 번째 수를 가로축 값으로 읽었다.

문장을 표로 바꾸는 문제도 이어졌다. “상자 하나에 같은 수의 연필이 들어 있고, 상자 수에 따라 연필의 총수가 정해진다”는 조건에서 상자 수를 x, 연필 수를 y로 정했다. 한 상자에 6자루라는 조건을 읽고 y=6x를 세운 다음, x가 0, 1, 2일 때 y가 0, 6, 12가 되는 표를 직접 만들었다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문장, 식, 표, 좌표를 서로 오가며 같은 대응 관계를 확인한 것이다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 후반에는 새로운 조건을 제시했다. “입장권 한 장은 2000원이며, 단체 할인이나 기본요금은 없다. 입장권을 0장부터 3장까지 살 때의 관계를 설명하라.” 학생은 별도의 표시 없이 먼저 ‘입장권 수를 x, 금액을 y’라고 정의했다. 이어 y=2000x를 쓰고, 표에 (0,0), (1,2000), (2,4000), (3,6000)을 적었다.

학생은 마지막에 다음과 같이 풀이를 설명했다.

입장권 수가 x이면 금액은 2000x이다. 그래서 x=0일 때 y=0이고, 표의 모든 대응값이 이 식에 들어맞는다. 한 양을 두 배로 하면 다른 양도 두 배가 되며, 시작점도 (0,0)이므로 이 관계는 정비례이다.

이번에는 앞서 놓쳤던 경계 조건을 스스로 먼저 확인했고, 표의 값과 식을 대입해 검산했다. 주안동중1수학과외에서 확인한 핵심은 정답 숫자를 얻는 데 있지 않았다. 표의 범위에 없는 0을 임의로 제외하지 않고, 두 양의 관계를 식과 대응값으로 끝까지 확인하는 데 있었다.