주안동 고1수학과외







주안동 고1수학과외에서 행렬 곱셈의 순서를 점검한 사례
주안동의 한 고1 학생은 행렬 계산 문제에서 답의 범위부터 예상했지만, 두 행렬을 곱하는 순서를 바꾸어도 같은 결과가 나온다고 판단했다. 숫자 계산은 끝까지 진행했으나, 오답 선택지와 비슷한 값이 나와 연산 순서의 오류를 알아차리지 못했다.
곱셈 전에 행과 열의 역할을 다시 세우다
교정의 기준은 행렬의 크기와 곱셈 순서를 함께 적는 것이었다. 예를 들어 A가 2×3 행렬이고 B가 3×1 행렬이면 AB는 가능하지만 BA는 정의되지 않는다. 학생은 계산에 들어가기 전 행렬의 크기를 먼저 표시하고, 각 성분이 ‘A의 행’과 ‘B의 열’의 내적으로 만들어진다는 점을 확인했다.
(AB)ij는 A의 i번째 행과 B의 j번째 열을 곱해 더한 값이다.
그 뒤 특수한 행렬을 이용해 결과를 점검했다. 단위행렬 I에 대해서는 A I = I A = A가 성립하므로, 곱셈 순서와 성분 위치를 확인하는 기준으로 삼을 수 있었다. 단위행렬을 곱한 결과가 원래 행렬과 다르면 계산 과정에서 행과 열을 잘못 대응한 것으로 판단했다.
크기가 달라진 문제에서 같은 원리를 적용하다
다음에는 2×2 행렬과 2×3 행렬을 제시하고, 어느 곱셈이 가능한지 먼저 묻게 했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 행렬의 크기와 결과의 크기를 판단해야 하는 상황이었다. 학생은 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수를 비교해 곱셈 가능 여부를 결정한 뒤, 결과가 2×3 행렬이 된다는 점까지 확인했다.
- 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같은지 확인한다.
- 결과 행렬의 크기는 앞 행렬의 행 개수와 뒤 행렬의 열 개수로 정한다.
계산값이 아니라 성분 위치로 최종 확인하기
마지막에는 단위행렬 대신 영행렬과의 연산을 사용해 결과를 검증했다. 모든 성분이 0인 영행렬과 곱하면 가능한 경우 결과도 영행렬이 되어야 한다. 학생은 계산한 행렬의 각 성분을 행과 열의 위치에 맞춰 대조했고, 특정 숫자 하나가 우연히 맞은 것이 아니라 전체 성분의 위치와 결과 행렬의 크기가 모두 일치하는지 확인하며 풀이를 마무리했다.