명장동 중3수학과외

명장동 중3수학과외, 치환 뒤에도 항과 부호를 놓치지 않는 곱셈식 풀이

명장동과외를 진행하며 한 학생의 시간 제한 풀이를 살펴보니, 계산 속도보다 먼저 확인해야 할 지점이 드러났습니다. 명장삼성타운과 부산광역시립명장도서관 인근 생활권에서 중3수학을 공부하는 학생들이 자주 만나는 유형처럼 보였지만, 이 글에서는 학교별 난도나 성적을 말하기보다 치환으로 복잡한 곱셈식을 단순화하는 과정 하나에만 집중했습니다. 학산여자중학교, 혜화여자중학교, 충렬중학교, 동신중학교가 포함된 생활권에서도 적용할 수 있는 풀이 장면입니다.

두 괄호를 새 문자로 바꾸어 읽은 풀이 기록

문제는 다음 식을 간단히 하는 것이었습니다.

(2x-1+2x+6)(3(2x-1)-(x+3))

학생은 먼저 두 표현을 나란히 적었습니다.

A=2x-1,　B=x+3

그러면 첫 번째 괄호는 A+2B, 두 번째 괄호는 3A-B이다.

여기까지는 식의 모양을 치환해 읽은 것입니다. 제한 시간 안에 학생은 곧바로 다음처럼 계산했습니다.

(A+2B)(3A-B)=3A²+6AB-B²

이 줄에서 결과가 어긋났습니다. 실제로 첫 번째 괄호의 2B와 두 번째 괄호의 -B를 곱한 항은 -2B²이어야 하는데, 학생은 -B²로 적었습니다. 이후 A와 B를 원래 식으로 되돌리는 계산은 그가 적은 식 안에서는 일관되었지만, 출발점에서 이미 한 항의 계수와 부호가 빠진 상태였습니다.

틀어진 순간은 전개가 아니라 ‘곱해질 대상’ 확인이었다

이 문제에서 처음 잘못된 판단은 복잡한 표현을 치환한 뒤, 괄호 안의 항을 모두 확인하지 않고 익숙한 전개 모양을 빠르게 적용한 것입니다. 치환 자체는 맞았습니다. 따라서 풀이 전체를 다시 바꿀 필요도, 이미 정리한 A와 B를 버릴 필요도 없습니다.

교정은 한 가지 행동으로 제한했습니다. 전개할 때 두 괄호의 항을 줄로 맞춰 직접 곱하는 것입니다.

	3A	-B
A	3A²	-AB
2B	6AB	-2B²

따라서

(A+2B)(3A-B)=3A²-AB+6AB-2B²=3A²+5AB-2B²

가 됩니다. 학생이 처음 적은 식에서 빠진 것은 전체 풀이법이 아니라 2B와 -B를 곱한 -2B²라는 한 항입니다. A와 B가 무엇인지 다시 확인한 뒤, 마지막에는 A와 B의 곱만 같은 종류끼리 정리했습니다.

표현을 바꾼 독립 문제에서 다시 선택하기

다음 시간에는 앞의 식을 보지 않고 다른 모양의 문제를 제시했습니다.

(m+n+2m-n)(2(m+n)-(m-2n))

학생은 이번에는 먼저 두 표현을 정했습니다.

P=m+n,　Q=m-2n

첫 번째 괄호는 P+(? )로 바로 바꾸기 어렵다는 점을 확인한 뒤, 같은 표현을 억지로 하나의 문자로 묶지 않았습니다. 대신 곱해질 항을 먼저 정리해

m+n+2m-n=3m

라고 적고, 두 번째 괄호는

2(m+n)-(m-2n)=2P-Q

로 두었습니다. 이어서 원래 식을

3m(2P-Q)

로 바꾸고, 두 항을 빠짐없이 곱했습니다.

3m·2P-3m·Q=6mP-3mQ

이후 P=m+n, Q=m-2n을 대입하면

6m(m+n)-3m(m-2n)=6m²+6mn-3m²+6mn=3m²+12mn

입니다. 여기서 다른 단원의 방법을 끌어오지 않고, 표현을 바꾼 뒤 각 항의 곱과 부호를 확인하는 데만 머물렀습니다.

힌트가 사라진 뒤의 검산

마지막에는 다음 문제를 풀이 과정의 도움 없이 맡겼습니다.

U=2a+b, V=a-3b일 때, (U-V)(2U+V)를 U와 V를 이용해 전개하고, a=1, b=2를 대입하여 원래 식과 비교하시오.

학생은 먼저

(U-V)(2U+V)=2U²+UV-2UV-V²=2U²-UV-V²

라고 적었습니다. 그리고 U=4, V=-5를 계산해 전개식에 대입했습니다.

2(4)²-(4)(-5)-(-5)²=32+20-25=27

원래 식에도 직접 대입하면

(4-(-5))(2·4+(-5))=9·3=27

입니다. 학생은 두 값이 같은 이유를 “치환은 괄호의 표현만 바꾼 것이고, 전개에서는 모든 항의 곱을 한 번씩 확인했기 때문”이라고 설명했습니다. 이것이 명장동중3수학과외에서 확인한, 새로운 곱셈식에서도 스스로 치환과 부호를 선택하고 검산하는 장면입니다.