명장동 중2수학과외

음수 대입에서 식의 관계를 끝까지 확인한 수업

명장동과외 수업에서 학생은 문자에 음수를 대입하는 식의 값을 구할 때, 계산 속도보다 식의 모양이 바뀌는 과정을 자주 놓쳤다. 명장동중2수학과외를 진행하며 학산여자중학교가 포함된 생활권의 학습 사례를 살펴보던 중, 부산광역시립명장도서관 인근 생활권에서 받은 연습 문제와 비슷한 유형을 함께 풀었다.

첫 줄에서 확인한 계산

문제는 2x-3(x-4)+5에 x=-2를 대입하여 값을 구하는 것이었다. 학생은 먼저 x 자리에 -2를 적고, “2×-2-3×(-2-4)+5”라고 썼다. 음수를 괄호 안에 넣어야 한다는 점은 표시했지만, 3 앞의 마이너스가 괄호 전체에 걸린다는 점은 따로 표시하지 않았다.

학생은 -4-3×(-6)+5를 거쳐 19라고 계산했다. 풀이 줄마다 계산 결과에 동그라미를 치고 있었지만, 원래 식의 각 항이 어떻게 바뀌었는지는 확인하지 않은 채 다음 문제로 넘어가려 했다. 교사는 답이 맞는지 바로 말하지 않고, 같은 식을 먼저 정리한 뒤 값을 구해 보도록 했다.

“괄호 앞의 -3은 괄호 안의 두 항에 모두 곱해진다. 한 항만 골라 부호를 바꾸지 말고, 항 전체의 대응을 표시해 보자.”

처음 어긋난 판단을 한 줄로 고치기

학생이 처음 잘못 선택한 것은 음수 대입 자체가 아니라, -3(x-4)를 “-3×x-4”처럼 읽은 것이었다. 이 판단 때문에 x=-2를 넣은 뒤에도 -3×(-2-4)로 계산하지 않고, 괄호 안의 -4를 독립된 항처럼 취급할 가능성이 생겼다.

교사는 이미 맞았던 대입 과정은 유지하게 했다. 학생은 식을 두 덩어리로 나누어 표시했다.

• 2x에 x=-2 대입 → 2×(-2)
• -3(x-4)에 x=-2 대입 → -3×((-2)-4)
• 마지막 상수 5는 그대로 유지

그 뒤 -4-3×(-6)+5를 다시 계산하여 -4+18+5=19를 얻었다. 이번에는 “-3이 괄호 안의 전체 값 -6에 곱해졌기 때문에 +18이 된다”고 설명했다.

식의 순서를 바꾸어 관계를 확인하다

다음 문제에서는 원래 식을 바로 계산하지 않고, 먼저 전개한 식과 비교했다. 학생은 4-2(3-y)+y에서 괄호 앞의 -2를 표시하고, -2×3=-6, -2×(-y)=+2y로 나누어 적었다. 따라서 이 식은 4-6+2y+y, 즉 -2+3y와 같은 식이라고 정리했다.

이번에는 y=-3을 넣었다. 원래 식에서는 4-2(3-(-3))+(-3)을 계산하여 4-2×6-3=-11을 얻었다. 정리한 식에서는 -2+3×(-3)=-11이 나왔다. 학생은 두 결과가 같다는 점을 보고, 식의 항 순서가 달라도 같은 값을 나타낼 수 있음을 직접 확인했다.

교사는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식의 배열을 바꾼 문제를 제시했다. z-5(2+z)+7을 먼저 전개하지 않고 z=-1을 대입한 뒤 계산하게 했다. 학생은 -1-5(2+(-1))+7이라고 괄호를 유지했고, -1-5+7=1을 얻었다. 이어 전개식 -4-4z에 z=-1을 넣어 -4+4=0이 되는지 다시 확인하다가, 자신의 전개가 잘못되었음을 찾아냈다.

학생은 -5(2+z)를 -10-5z로 고쳐 z-10-5z+7=-4-4z가 맞다고 설명했다. 원래 식의 값도 -1-5×1+7=1이므로 두 표현의 결과가 다르다는 사실을 통해, 대입 계산이 아니라 전개 과정에서 틀렸다는 것을 역추적했다.

힌트 없이 세운 첫 판단과 검산

수업의 독립 확인 문제는 6-4(a-2)-a에서 a=-5일 때의 값과, 이를 정리한 식을 함께 묻는 형태였다. 학생은 바로 계산하지 않고 “-4가 괄호 전체에 곱해지므로 -4a와 +8이 생긴다”고 먼저 말했다. 식을 6-4a+8-a=14-5a로 정리한 뒤 a=-5를 넣어 14+25=39를 얻었다.

학생은 원래 식에도 -5를 대입해 6-4((-5)-2)-(-5)=6-4×(-7)+5=39라고 검산했다. “음수 대입은 괄호로 묶고, 괄호 앞 계수의 부호가 전체에 적용되는지 먼저 본다. 원식과 정리식의 값이 같아야 한다”고 풀이 이유와 검산 근거를 스스로 말하며 문제를 마무리했다.