청수지구 중등수학과외

청수지구중등수학과외, 동전과 회전판의 42가지 경우에서 1/42를 확인하는 방법

앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오는 동전 1개, 1부터 21까지의 수가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행하는 문제를 살펴보겠습니다. 먼저 묻는 것은 전체 경우의 수이고, 동전 결과 2가지와 회전판 결과 21가지를 순서쌍으로 연결하면 2×21=42가지입니다. 이어서 “앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률”을 묻는 비교 문제에서는, 전체 42가지 중 (앞면, 1)이라는 한 순서쌍만 해당하므로 답은 1/42입니다. 기본 문제의 계산을 설명할 수 있어도, 새 질문에서 무엇을 세어야 하는지 혼자 바꾸는 과정은 따로 확인할 필요가 있습니다.

전체 경우는 왜 42가지로 세는가

나무그림의 첫 갈래에는 동전의 앞면과 뒷면을 적고, 각 갈래에서 회전판의 1, 2, 3, …, 21을 이어 적습니다. 앞면 아래에 21가지, 뒷면 아래에도 21가지가 생기므로 모두 42가지입니다. 이를 (앞면, 1), (앞면, 2), …, (뒷면, 21)처럼 순서쌍으로 쓰면 동전 결과와 회전판 결과가 한 번씩 빠짐없이 결합되었는지 확인할 수 있습니다. 중복 체크표에서는 같은 순서쌍을 두 번 세지 않았는지, 앞면과 뒷면 각각에 21개가 있는지를 표시합니다. 청수지구중등수학과외 수업에서는 2+21처럼 결과의 수를 단순히 더하는 식이 아니라, 한 동전 결과마다 회전판의 21가지가 연결된다는 관계를 말로 설명하게 합니다.

비교 문제에서는 ‘전체’와 ‘원하는 한 경우’를 분리합니다

비교 문제에서도 동전의 두 면은 같은 확률이고 회전판의 21개 숫자도 같은 확률입니다. 또한 두 시행이 서로 독립이므로 동전의 결과가 회전판 숫자의 가능성을 바꾸지 않습니다. 유지되는 조건은 이처럼 각 결과가 같은 가능성을 가지며 두 시행이 독립이라는 점입니다. 달라진 점은 전체 경우의 수를 묻던 질문이, 그중 앞면과 숫자 1이 함께 나온 사건의 확률을 묻는 질문으로 바뀐 것입니다. 전체 42가지 순서쌍 가운데 해당하는 것은 (앞면, 1) 하나이므로 확률은 1/42입니다. 곱셈으로도 P(앞면과 1)=P(앞면)×P(1)=1/2×1/21=1/42가 됩니다. 확률은 0과 1 사이여야 하므로 1/42가 그 범위에 있는지, 분모 42가 앞에서 센 전체 경우와 같은지도 함께 확인합니다.

며칠 뒤에는 풀이 순서 없이 다시 판단하게 합니다

당일에는 두 문제의 조건을 나란히 적어 두고, 비교 문제에서 바뀐 문장인 “앞면과 숫자 1이 함께”에 밑줄을 긋습니다. 그다음 “회전판 결과와 동전 결과는 서로 독립인가?”라는 짧은 질문으로 곱셈을 사용할 근거를 확인하되, 비교 문제를 혼자 풀기 전 정답을 먼저 알려 주지는 않습니다. 며칠 뒤 기록이나 나무그림 없이 다시 풀 때에는 먼저 전체 경우를 2×21로 정하고, 사건에 맞는 순서쌍이 한 개인지 스스로 고르게 합니다. “두 문제에서 달라진 조건은 무엇인가?”에 전체 경우를 구하는 질문과 특정한 한 결과를 구하는 질문의 차이로 답하고, 독립의 이유와 1/42를 연결할 수 있는지가 다음 단계의 기준입니다. 이 과정에서 멈춘 위치가 조건 표시인지, 첫 식 선택인지에 따라 다시 확인할 부분을 정합니다.