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청수지구 중1수학과외

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가려진 조건에서도 ASA 합동을 판단한 풀이

청수지구 생활권에는 천안용곡중학교와 천안신방중학교 등이 포함되어 있다. 이 지역의 청수지구과외 수업에서 다룬 한 학생의 풀이를 살펴보면, 도형이 일부 가려진 상황에서 합동조건을 어떻게 확인하는지가 핵심이었다. 청수지구중1수학과외에서는 보이지 않는 선을 임의로 채우기보다 그림에 실제로 주어진 대응관계를 먼저 기록하도록 풀이를 이어 갔다.

가려진 도형에서 시작된 한 줄의 오판

문제에는 삼각형 ABC와 DEF가 겹쳐 그려져 있었고, 가운데 부분은 색으로 가려져 있었다. 두 도형에서 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다는 표시가 남아 있었다. 학생은 종이에 다음처럼 적었다.

AB=DE, ∠A=∠D, ∠B=∠E이므로 ASA 합동이다.

계산 자체는 하지 않았지만, 이 문장에서 첫 판단이 어긋났다. 학생은 변 AB가 두 각 ∠A와 ∠B 사이에 놓인 변이라는 점을 확인하지 않은 채, 같은 위치처럼 보이는 표시만 보고 조건을 묶었다. ASA는 두 각과 그 사이에 있는 변이 대응해야 하므로, 단순히 각 두 개와 변 하나가 같다는 사실만으로 바로 결론을 내릴 수 없다.

대응점을 먼저 연결해 조건을 다시 세우다

교정은 하나의 기준을 세우는 데서 시작했다. 학생은 두 도형의 대응점을 선으로 연결하고, 각 표시 옆에 같은 기호를 붙였다. ∠A와 ∠D, ∠B와 ∠E가 대응한다면 그 사이 변은 각각 AB와 DE라는 것을 따로 적었다. 이어서 변의 양 끝점을 확인한 뒤 다음과 같이 풀이를 고쳤다.

  • ∠A와 ∠D가 서로 대응한다.
  • ∠B와 ∠E가 서로 대응한다.
  • 두 각 사이의 변 AB와 DE가 대응하고 길이가 같다.
  • 따라서 두 각과 그 사이 변이 각각 같으므로 ASA 합동조건을 적용한다.

가려진 부분에 다른 선이 더 있을 가능성은 있었지만, 주어진 대응관계만으로 이미 합동조건이 완성되었다. 보이지 않는 선의 길이나 각을 추측해 추가 조건으로 삼지 않았고, 합동 판단에 필요하지 않은 후보도 풀이에서 제외했다.

그림의 방향을 바꾸자 같은 규칙을 새롭게 적용하다

다음 문제에서는 오른쪽 삼각형이 180도 돌아간 모양으로 제시되었다. 이번에는 그림의 위아래 위치가 달라졌고, 질문도 “두 삼각형이 합동인지 쓰시오”가 아니라 “점 C에 대응하는 점을 찾고 합동조건을 설명하시오”로 바뀌었다. 숫자만 바뀐 문제가 아니었기 때문에 학생은 먼저 문제의 질문을 다시 읽고, 주어진 각과 변의 관계를 표로 정리했다.

  • 왼쪽 도형: ∠P, PQ, ∠Q
  • 오른쪽 도형: ∠Y, YX, ∠X

학생은 도형의 방향이 달라도 각 두 개 사이에 놓인 변을 비교해야 한다는 점을 적용했다. ∠P와 ∠Y, ∠Q와 ∠X가 대응하고 PQ와 YX가 그 사이의 변이므로 두 삼각형은 ASA로 합동이라고 설명했다. 이어서 점 R에 대응하는 점은 남은 점 Z라고 적었다. 이는 그림에서 위에 있는 점끼리 대응시킨 것이 아니라, 이미 확인한 두 대응점을 기준으로 남은 점을 연결한 결과였다.

힌트 없이 조건을 다시 읽고 검산한 장면

수업 끝부분에는 중간 선분 표시가 가려지고, 각의 순서가 문제 아래쪽에 따로 제시된 형태를 풀게 했다. 학생은 도움 없이 먼저 대응표를 만들었다. “∠M=∠S, ∠N=∠T, MN=ST”라고 쓴 뒤, MN이 ∠M과 ∠N 사이에 있는지 손가락으로 그림에서 확인했다. 그 다음 “두 각의 사이 변이 같으므로 ASA”라고 이유를 적었다.

검산할 때는 합동조건만 반복하지 않고 처음 조건으로 돌아갔다. ∠M의 양 끝점이 M과 N이고, ∠S의 양 끝점이 S와 T이므로 MN과 ST가 실제로 각각 두 각 사이에 놓인다는 점을 다시 확인했다. 또한 M과 S, N과 T를 대응점으로 정했을 때 남은 점의 대응도 자연스럽게 정해지는지 살폈다.

도형이 회전되어 보여도 위치가 아니라 대응점과 조건의 순서를 먼저 본다. 두 각 사이의 변이 주어진 경우에만 ASA를 쓴다.

마지막 풀이에서는 보이지 않는 부분을 임의로 보완하지 않았고, 질문의 방향이 바뀌어도 대응점·대응변·대응각을 다시 연결해 판단했다. 처음의 오판이었던 “각 두 개와 아무 변이나 같으면 된다”는 생각을 버리고, 주어진 조건과 그 조건의 위치를 근거로 합동 여부를 독립적으로 설명한 것이다.

청수지구 중1수학과외 학부모 후기

벡터 문제를 펼쳐 둔 책상에서 아이가 바로 답을 찾지 않고 종이에 시작점과 끝점 좌표를 따로 옮겨 적고 있더라고요. 두 점의 순서를 놓치지 않으려고 나란히 써 놓은 뒤, 각 좌표의 차이를 하나씩 계산해 성분을 확인하고 있었습니다. 다음 수업을 준비하던 밤에 본 장면인데 꽤 오래 들여다보게 됐어요. 청수지구 수학과외를 알아보던 중에도 이런 모습을 보게 될 줄은 몰랐습니다. 예전에는 공부를 끝내면 자신이 어떤 과정을 거쳐 답을 냈는지 다시 살피는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이날은 계산한 내용을 눈으로 다시 훑고, 좌표를 적은 순서와 성분 결과를 맞춰 보더라고요. 시험이 없는 평일에는 다른 벡터 자료를 꺼내서도 같은 식으로 두 점을 먼저 적었습니다. 계산을 마친 뒤에는 아직 확인할 부분이 남아 있는 페이지를 표시해 두고 책상 위 자료를 정리했어요. 이전처럼 답만 보고 지나간 흔적과는 달리, 성분을 확인한 과정이 그대로 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

계산 숙제를 펼쳐 놓고 잠시을 들여다보더니, 아이가 종이에 작은 표부터 만들었어요. 가능한 경우를 하나씩 나눠 적은 뒤 겹치는 경우는 직접 지워 가며 확인하더라고요. 예전에는 오답을 다시 볼 때도 틀린 부분 한 군데만 살피고 지나가는 일이 많았거든요. 이번에는 답을 바로 찾기보다 경우를 나누는 데 먼저 시간을 쓰고 있었습니다. 방학 숙제를 하던 오전에 확률 문제를 풀 때도 같은 장면을 본 적이 있어요. 별다른 말을 하지 않고 표를 그려 경우를 구분하길래 잠깐 지켜봤습니다. 청수지구 수학과외를 알아보며 여러 교재를 살펴보던 때와는 별개의 일상적인 숙제였는데, 이번 계산에서는 앞에서 확인한 부분 옆에 조그맣게 표시만 남겨 두었어요. 표 안에서 겹치는 경우를 지운 흔적이 문제마다 조금씩 달랐습니다.

★★★★☆학부모 후기

학교 과제와 과외 숙제가 한꺼번에 겹친 날에도 선생님은 아이의 일정부터 살피며 청수지구 수업 시간을 무리 없이 조절해 주셨습니다. 완벽하게 풀려다 풀이가 길어지면 포기하던 아이에게는 할 수 있는 문제부터 편하게 시작하게 하고, 설명보다 이해했는지를 먼저 확인하셨습니다. 요즘은 답이 틀려도 바로 덮지 않고 한 번 더 살펴보는 모습이 보여 공부를 대하는 마음이 조금 편해진 것 같습니다.

★★★★☆학부모 후기

오답을 따로 모아 다시 풀어보던 날, 예전처럼 한 문제에서 막혔다고 수학을 포기하고 싶지는 않았습니다. 수행평가와 시험공부가 겹친 주에도 청수지구 선생님은 제 상황을 먼저 듣고, 수업 끝에 복습할 내용만 몇 가지로 줄여 주셨습니다. 혼자 공부할 때도 어디부터 다시 볼지 알게 되어 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

청수지구에서 수학 수업을 시작한 뒤에도 아이는 한동안 모르는 문제를 쉽게 묻지 못했습니다. 선생님은 밀린 숙제를 한꺼번에 내주지 않고 우선순위를 정해 복습하게 했고, 틀린 문제도 함께 차분히 다시 살폈습니다. 시험기간에는 수업 후 무엇을 봐야 할지 스스로 말하는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기