청수동 중1수학과외

대응점부터 다시 읽은 합동삼각형 풀이

청수지구와 신방지구가 이어지는 생활권에서 중1 수학 과외를 진행하며, 단원평가를 앞둔 학생의 합동삼각형 문제를 함께 살폈다. 천안용곡중학교와 천안신방중학교가 포함된 생활권에서도 자주 접하는 유형이지만, 이 문제의 핵심은 길이를 많이 계산하는 데 있지 않고 두 삼각형에서 어떤 점과 변, 각이 서로 대응하는지 정확히 찾는 것이었다.

답보다 먼저 확인해야 했던 한 줄

문제에는 삼각형 ABC와 DEF가 제시되어 있었고, 두 삼각형이 합동이라는 조건과 함께 ∠A와 ∠D, AB와 DE가 같다고 표시되어 있었다. 학생은 그림을 보자마자 칠판에 “△ABC ≡ △DEF”라고 적은 뒤, 곧바로 BC의 길이를 구하려고 했다. 이어서 “AB와 DE가 같으니 나머지 변도 같은 위치에 있겠지”라고 말하며 BC에 대응하는 변을 EF로 정했다.

계산 자체는 복잡하지 않았지만, 풀이가 어긋나기 시작한 지점은 계산 전이었다. 합동 기호의 순서를 그림의 위치만 보고 정한 것이다. 합동삼각형에서는 기호에 적힌 순서가 대응점을 알려 주므로, 첫 글자끼리, 둘째 글자끼리, 셋째 글자끼리 연결해야 한다.

△ABC ≡ △DEF라면 A↔D, B↔E, C↔F이다.

학생의 식 옆에 대응점을 선으로 연결하게 했다. A와 D, B와 E, C와 F를 표시한 뒤, AB와 DE가 실제로 한 쌍이고 BC와 EF가 또 다른 한 쌍임을 확인했다. 이미 적어 둔 합동식은 그대로 유지하고, 대응 관계만 다시 표시했다. 그 다음 “BC는 B와 C를 잇는 변이므로, 대응점 E와 F를 잇는 EF와 같다”라고 한 줄로 근거를 적었다.

주어진 조건과 불필요한 후보를 가려내기

그림에는 같은 길이로 보이는 선분이 여러 개 있었고, 학생은 모든 변의 길이를 비교하려 했다. 그러나 합동이라는 조건이 주어졌다면 대응점이 정해진 뒤 필요한 쌍만 확인하면 된다. AB와 DE, BC와 EF, CA와 FD를 나란히 적고, 문제에서 묻는 BC에 대응하는 EF만 동그라미로 표시했다. ∠A와 ∠D도 대응각이지만 이번 질문은 변의 길이에 관한 것이므로 계산에 끌어들이지 않았다.

이 과정을 통해 학생은 “그림에서 가까워 보이는 선분”이 아니라 “대응하는 끝점으로 정해지는 선분”을 근거로 답해야 한다는 점을 풀이 안에서 확인했다. 청수동과외 수업에서도 이런 식으로 조건을 먼저 분리하면, 합동 조건과 직접 관련 없는 후보를 줄이면서 풀이가 짧아진다.

도형을 돌리고 질문을 바꾼 새 문제

같은 도형을 그대로 다시 풀게 하지 않고, 삼각형 DEF를 시계 방향으로 돌려 놓은 그림을 제시했다. 이번에는 “∠F에 대응하는 각은 무엇인가?”라고 물었고, 합동식은 뒤에 작게 가려 두었다. 학생은 그림의 방향 때문에 한동안 ∠C가 아니라 ∠E라고 적으려 했다.

학생이 쓴 답 옆에 세 점의 연결표를 직접 만들게 했다.

• A는 D와 대응
• B는 E와 대응
• C는 F와 대응

그림을 돌려도 점 사이의 대응은 바뀌지 않는다는 것을 확인한 뒤, ∠F의 대응각은 ∠C라고 고쳤다. 이어서 질문을 “변 DE에 대응하는 변을 쓰시오”로 바꾸자, 학생은 끝점 D와 E를 먼저 읽고 각각 A와 B로 되돌려 AB를 적었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 도형의 방향과 질문의 방향을 바꾸었지만, 대응점에서 출발하는 같은 판단을 적용한 것이다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 후반에는 합동식과 조건을 모두 가린 채 새로운 그림을 주었다. 학생은 먼저 표시된 같은 각과 같은 변을 살피고, “∠P가 ∠S와 같고, PQ가 ST와 같으므로 P↔S, Q↔T로 볼 수 있다”고 적었다. 남은 점은 자동으로 대응시킨 뒤, “두 삼각형이 합동이므로 대응하는 변과 각이 각각 같다”고 이유를 덧붙였다.

마지막 질문은 “삼각형 RQP의 각 Q에 대응하는 각을 구하고, 그 근거를 설명하시오”였다. 학생은 Q↔T를 확인해 ∠T라고 답한 다음, 대응점 표시와 합동식의 순서를 다시 대조했다. 끝으로 자신이 구한 대응 관계를 원래 그림에 되돌려 표시하고, 변과 각의 연결이 모두 일치하는지 검산했다.

이번 재현에서는 별도의 힌트 없이 첫 판단을 대응점에서 시작했고, 도형이 회전되거나 질문 순서가 달라져도 같은 기준을 유지했다. 청수동중1수학과외에서는 정답만 확인하지 않고, 학생이 대응점·대응변·대응각을 스스로 연결하고 그 근거까지 말할 수 있는지를 최종 확인한다.