용곡동 중3수학과외

용곡동 중3수학과외, 그림이 달라져도 같은 호를 찾는 연습

이번 용곡동과외 수업에서는 여러 조건이 한 그림에 섞였을 때 어떤 각이 같은 호를 바라보는지를 찾는 데 초점을 맞췄습니다.

식보다 먼저 표시한 것

문제에는 원 위에 네 점 A, B, C, D가 있고, ∠ACB＝38°, ∠ADB＝x°라고 제시되어 있었습니다. 두 각의 꼭짓점은 서로 다르고 그림에서는 A, B가 아래쪽에 놓여 있었습니다. 학생은 처음에 다음처럼 적었습니다.

“∠ACB와 ∠ADB는 모양이 다르므로 x를 바로 구할 수 없다. 180°에서 38°를 뺀다.”

이후 학생은 180－38＝142를 계산해 x＝142°라고 썼습니다. 계산 자체는 틀리지 않았지만, 이 계산을 시작하기 전에 이미 풀이 방향이 잘못 잡혀 있었습니다. 학생은 두 각이 각각 어떤 선분을 끼고 있는지는 읽었지만, 두 각이 모두 끝점 A와 B를 연결하는 같은 호 AB를 바라본다는 사실을 표시하지 않았습니다.

처음 어긋난 판단을 한 곳에서 바로잡기

풀이를 지우고 계산을 모두 바꾸게 하지는 않았습니다. 먼저 그림에서 ∠ACB의 양변 CA, CB와 ∠ADB의 양변 DA, DB를 색으로 표시했습니다. 그러자 두 각 모두 끝점이 A와 B인 현을 바라보고 있음을 확인할 수 있었습니다. 꼭짓점 C와 D는 같은 호 AB의 반대쪽에 놓인 원 위의 점입니다.

따라서 이 두 각은 모양이 다르더라도 같은 호 AB를 보는 원주각입니다. 같은 호를 보는 원주각의 크기는 같으므로

∠ADB＝∠ACB＝38°

가 됩니다. 앞서 적은 142°는 계산 실수라기보다, 같은 호와 연결되지 않은 두 각을 보충각처럼 처리한 데서 생긴 결과였습니다. 교정한 행동은 하나였습니다. 각을 계산하기 전에 양변의 끝점과 공통으로 연결되는 호를 표시하는 것입니다.

표현을 바꾼 두 번째 장면

다음 문제는 앞의 그림을 그대로 돌려 놓은 형태가 아니었습니다. 원 위의 점 P, Q, R, S가 있고, ∠PQS＝27°가 표시되어 있었습니다. 구할 것은 ∠PRS가 아니라, “호 PS를 보는 원주각의 크기를 쓰시오”라는 질문이었습니다. 점의 이름 순서도 바뀌었고, 구하는 각을 문자로 직접 제시하지 않았습니다.

학생은 먼저 Q를 꼭짓점으로 하는 각의 양변 QP, QS를 표시했습니다. 양변의 끝점이 P와 S이므로 이 각은 호 PS를 본다고 설명했습니다. 이어서 원 위의 R에서 P와 S로 선분을 연결하면 ∠PRS 역시 끝점 P, S를 가지므로 같은 호 PS를 본다고 판단했습니다.

• 주어진 각: ∠PQS＝27°
• 공통으로 확인한 대상: 호 PS
• 다른 위치에서 같은 호를 보는 각: ∠PRS
• 결론: ∠PRS＝27°

이번에는 그림이 옆으로 놓였는지, 점 이름이 앞 문제와 달라졌는지를 기준으로 삼지 않았습니다. 각의 꼭짓점이 어디에 있는지보다 양변의 끝점이 같은지 먼저 확인했기 때문에, 질문 방향이 “미지각을 구하라”에서 “해당 호를 보는 각을 쓰라”로 바뀌어도 관계를 유지할 수 있었습니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

마지막에는 별도의 표시나 질문을 주지 않고 새 그림을 제시했습니다. 원 위에 X, Y, Z, W가 있고, ∠XWY＝46°가 주어졌습니다. 구할 것은 ∠XZY였습니다. 그림에서는 W가 왼쪽, Z가 오른쪽에 있어 두 각의 모양이 꽤 다르게 보였습니다.

학생은 먼저 ∠XWY의 양변 WX와 WY를 읽고 끝점이 X와 Y임을 적었습니다. 이어 ∠XZY의 양변 ZX와 ZY도 끝점 X와 Y를 가진다고 설명했습니다. 따라서 두 각은 모두 호 XY를 보는 원주각이며,

∠XZY＝∠XWY＝46°

라고 결론 내렸습니다. 검산할 때도 “그림에서 두 각이 비슷하게 생겼다”가 아니라, “두 각의 양변 끝점이 모두 X와 Y이므로 같은 호 XY를 본다”는 이유를 다시 말했습니다. 용곡동중3수학과외 수업에서 확인하고 싶었던 것도 바로 이 기준입니다. 표현, 점의 위치, 질문 방식이 달라져도 먼저 호와 각의 연결을 표시하면 같은 원의 각 관계를 스스로 재현할 수 있습니다.