용곡동 고1수학과외
복소수의 사칙연산에서 짧은 풀이보다 중요한 것
용곡동에서 고1 수학 과외를 받던 학생은 복소수 계산을 빠르게 끝내려다 i가 붙은 항과 실수항을 같은 종류처럼 처리하는 오류를 보였다. 예를 들어 \( (2+i)(1-i) \)를 전개하면서 \(i^2=-1\)을 놓쳐 허수부의 부호가 달라졌다.
허수부의 부호가 바뀐 순간
학생은 식 전체를 한 줄에 압축하려 했지만, \(2\cdot(-i)\), \(i\cdot1\), \(i\cdot(-i)\)를 따로 구분하지 않았다. 그 결과 실제 계산인
\((2+i)(1-i)=2-2i+i-i^2=3-i\)
에서 마지막 항을 잘못 처리했다.
실수부와 허수부를 분리해 계산하기
교정할 때는 항을 두 묶음으로 나누어 적었다. 실수부는 \(2-i^2=3\), 허수부는 \(-2i+i=-i\)로 정리한 뒤 \(3-i\)를 얻었다. 복소수의 곱에서는 \(i^2=-1\)이 실수항으로 바뀐다는 점만 끝까지 확인하도록 했다.
나눗셈으로 바뀌어도 같은 기준 적용하기
이후 문제를 \(\frac{3-i}{1+i}\)처럼 바꾸었다. 학생은 분모의 켤레복소수 \(1-i\)를 곱해 분모를 실수로 만든 뒤, 분자와 분모를 각각 계산했다.
\[ \frac{3-i}{1+i} =\frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} =\frac{2-4i}{2} =1-2i \]
단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 곱셈에서 나눗셈으로 연산 방식과 표현을 바꾼 상황에서도 실수부·허수부를 구별하는 기준을 유지한 것이다.
결과를 곱셈으로 되돌려 확인하기
마지막에는 계산 결과 \(1-2i\)에 분모 \(1+i\)를 다시 곱했다.
\((1-2i)(1+i)=1+i-2i-2i^2=3-i\)
처음 분자와 같으므로 나눗셈 결과가 맞음을 확인했다. 이 과정에서 학생은 답의 모양만 보는 대신, 원래 식으로 되돌아가는 검증을 익혔다.