용곡동 중2수학과외

표시가 바뀌어도 밑각을 찾는 과정

용곡동과외 수업에서 학생은 이등변삼각형의 밑각 성질을 알고 있었지만, 그림과 문장이 함께 제시된 문제에서 같은 관계를 연결하는 데 시간이 걸렸다. 천안용곡중학교가 포함된 생활권과 극동늘푸른아파트가 있는 생활권의 학습 사례를 살펴보면, 이 단원에서는 계산보다 주어진 변과 각, 점의 대응을 정확히 읽는 일이 먼저였다.

그림의 표시를 읽다가 생긴 한 줄의 오류

문제에는 삼각형 ABC가 제시되어 있었고, AB와 AC에 같은 짧은 선 표시가 있었다. 학생은 표시를 따라 두 변의 길이가 같다는 점을 먼저 적었다. 이어 꼭짓점 A에서 내려온 선과 삼각형 바깥쪽에 표시된 점을 보고, “이 점은 내심이고 선은 각의 중심선”이라고 판단했다. 그러나 그림에는 내심이나 외심이라는 조건이 없었다.

이 판단이 풀이가 어긋난 최초의 지점이었다. 아직 각도를 계산하지도 않았고 답을 쓰지도 않았지만, 그림에 실제로 주어진 표시보다 기억 속 도형 이름을 앞세운 것이다. 학생은 그 점을 기준으로 각을 나누려 했고, 결국 밑각이 어느 것인지 놓쳤다.

그림에 이름이 적혀 있지 않다면, 그 점의 성질을 추가하지 말고 표시된 조건만 사용한다.

주어진 조건만 다시 세워 보기

교사는 학생이 이미 적은 “AB=AC”를 지우지 않게 했다. 대신 옆에 “같은 변의 맞은편 각이 같다”라고 연결해서 적도록 했다. AB의 맞은편 각은 ∠C이고, AC의 맞은편 각은 ∠B이므로 ∠B=∠C가 된다. 여기서 A는 두 변이 만나는 꼭짓점이고, B와 C가 밑변의 양 끝점이라는 관계도 함께 표시했다.

학생은 그림 위에서 AB와 AC에 동그라미를 치고, ∠B와 ∠C에 같은 표시를 붙였다. 문제에 ∠B=52°라고 적혀 있자 ∠C도 52°라고 썼다. ∠A를 구하는 문항에서는 삼각형의 세 각의 합을 이용해 180°-52°-52°를 계산했다. 이때 외심이나 내심에 관한 판단은 풀이에서 제외했고, 처음에 맞게 적었던 두 변의 동일 조건과 맞은편 각의 대응만 유지했다.

다른 문항에서는 “AC와 AB의 길이가 같고, 꼭짓점 A에서 밑변 BC로 선분 AD를 그었다”는 문장만 주어졌다. 그림의 모양을 먼저 상상해 결론을 내리지 않고, 학생은 AB=AC를 적은 뒤 B와 C가 밑각의 위치라는 사실을 문장으로 바꾸었다. 따라서 ∠ABD와 ∠ACD를 바로 같은 각이라고 쓰지 않고, 선분 AD가 각을 어떻게 나누는지는 별도 조건이 필요하다고 보류했다. 주어진 정보만으로 확실한 것은 ∠B=∠C라는 점이라고 설명했다.

표현을 바꾼 문제에서 관계를 옮기다

다음 문제는 그림 대신 표와 문장으로 구성했다.

• 첫 번째 도형: 꼭짓점 P에서 두 변 PQ, PR이 뻗고 PQ=PR
• 두 번째 도형: 삼각형 XYZ에서 밑변 YZ의 양 끝 각이 각각 38°, 38°
• 질문: 각이 같은 이유를 말하고, 첫 번째 도형의 밑각을 기호로 나타내기

학생은 첫 번째 표에서 두 변이 만나는 P를 꼭짓점으로 표시하고, 남은 Q와 R을 밑각의 위치로 옮겨 적었다. 그래서 ∠PQR=∠PRQ라고 썼다. 두 번째 문장에서는 이미 두 각의 크기가 주어졌으므로 변의 길이를 새로 같다고 추측하지 않고, “두 밑각이 같으므로 이 두 각을 마주 보는 변이 같다”라고 방향을 바꾸어 설명했다. 같은 성질이라도 ‘같은 두 변에서 같은 두 각을 찾는 경우’와 ‘같은 두 각에서 같은 두 변을 확인하는 경우’를 구분한 것이다.

조건의 순서도 바꾸었다. “∠M=∠N인 삼각형 LMN에서 같은 길이의 두 변을 찾아라”라는 질문에 학생은 각 M과 N의 맞은편 변을 각각 LN, LM으로 대응시켰다. 이전처럼 꼭짓점에 모인 두 변을 무조건 선택하지 않고, 각과 변의 마주 보는 위치를 손가락으로 따라가며 LM=LN이라고 적었다. 숫자를 바꾼 반복 문제가 아니라, 변에서 각으로 가던 판단을 각에서 변으로 되돌리는 적용이었다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막 확인 문제에서는 점 이름과 조건 순서를 모두 바꾸었다. 삼각형 RST에서 ∠S와 ∠T가 같고, ∠R이 74°일 때 두 밑각의 크기와 같은 변을 설명하는 문제였다. 학생은 문제를 읽자마자 “같은 각 S와 T의 맞은편 변 RT와 RS가 같다. 따라서 R이 두 같은 변이 만나는 꼭짓점이고 ST가 밑변이다”라고 먼저 말했다.

이어 ∠S=∠T=x로 두고 74°+x+x=180°을 세웠다. x=53°를 얻은 뒤, 두 밑각을 다시 53°, 53°로 적어 합이 180°인지 검산했다. 마지막으로 “외심이나 내심이라는 말이 없으므로 그 점의 성질을 끌어오지 않았고, 실제로 주어진 같은 각의 맞은편 변만 대응했다”고 풀이 이유를 스스로 설명했다. 용곡동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답보다도, 표현이 달라져도 같은 판단을 처음부터 재현했다는 점에 있었다.