신방지구 중2수학과외

각의 이등분선과 내심을 구분한 중2수학 풀이 기록

신방지구과외 수업에서도 학생이 선의 이름을 외우는 데 그치지 않고, 표시와 이유를 연결하도록 풀이를 진행했다.

그림을 보고 시작한 첫 판단

문제에는 삼각형 ABC와 세 각의 내부에 그어진 선이 제시되어 있었고, 세 선이 한 점에서 만나는 모습이 나타났다. 학생은 먼저 그림에서 만나는 점을 P라고 표시한 뒤, 각 A와 각 B에 같은 호 표시를 했다. 이어 “P는 세 변에서 같은 거리에 있는 점이므로 외심”이라고 적고, 각의 이등분선 대신 수직이등분선을 찾으려 했다.

학생은 변 AB의 양 끝점을 잡고 가운데에 직각 표시를 하려 했으며, “외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리”라는 문장을 옆에 적었다. 하지만 문제의 선은 변을 수직으로 나누는 선이 아니라 각을 두 부분으로 나누는 선이었다. 아직 계산이나 결론에서 틀린 것이 아니라, 그림 속 교점의 정의를 고르는 첫 단계에서 외심과 내심을 서로 바꾸어 생각한 것이었다.

학생의 첫 메모: “세 선이 만나는 점 → 외심 → 수직이등분선을 확인한다.”

한 가지 기준만 남긴 교정

교사는 이미 맞게 표시한 각의 호를 지우지 않고, 그 표시가 무엇을 뜻하는지만 다시 물었다. 학생은 각 A가 두 각으로 똑같이 나뉘어 있다는 표시를 보고도, 선의 방향보다 점의 거리 조건을 먼저 떠올렸다는 것을 확인했다.

교정은 하나의 기준으로 정리했다. 각을 둘로 같은 크기로 나누는 선이면 각의 이등분선이고, 세 각의 이등분선이 만나는 점이면 내심이다. 반대로 변의 중점을 지나 직각으로 만나는 선이 수직이등분선이며, 그 선들이 만나는 점은 외심이다. 학생은 문제 그림에서 각 A와 각 B에 그어진 선을 따라가며 각각 ∠BAP와 ∠PAC, ∠ABP와 ∠PBC에 같은 표시를 붙였다.

그 뒤 “P는 두 각의 이등분선 위에 있으므로 내심을 찾는 과정에 있다”고 문장을 바꾸어 적었다. 수직 표시나 변의 중점 표시는 문제에 없으므로 새로 만들지 않았고, 이미 올바르게 해 둔 각 표시만 근거로 사용했다.

성질을 묻는 문제에서 조건을 판별하는 문제로

다음 문제는 단순히 “내심의 성질을 쓰시오”라고 묻지 않았다. 삼각형 ABC 안의 점 Q에 대해 ∠BAQ와 ∠QAC가 같고, ∠ABQ와 ∠QBC도 같다고 제시한 뒤 “Q가 내심인지 판단하고 이유를 쓰시오”라고 물었다. 학생은 숫자나 그림의 위치만 따라가지 않고, 조건의 형태를 먼저 읽었다.

• Q에서 A로 이어진 선은 A의 각을 둘로 나눈다.
• Q에서 B로 이어진 선은 B의 각을 둘로 나눈다.
• 두 각의 이등분선이 만나는 점이므로 Q는 내심이다.

질문이 “내심의 성질은 무엇인가”에서 “주어진 점이 내심인지 어떻게 판별하는가”로 바뀌었지만, 학생은 각의 크기가 같다는 조건을 찾아 같은 개념을 적용했다. 이번에는 삼각형의 방향을 바꾸고, 한 각은 그림 대신 문장으로 제시했으며, 결론도 성질을 적는 방식이 아니라 조건을 근거로 판단하는 방식이었다.

힌트 없이 다시 세운 첫 줄

한 주 뒤, 새로운 그림에서 점 R이 삼각형 내부에 있고 두 선이 각의 꼭짓점에서 R로 이어져 있었다. 이번에는 어떤 설명도 주지 않은 상태에서 학생이 먼저 선의 역할부터 확인했다. 변의 중점을 잇거나 직각으로 만난다는 표시가 없고, ∠CAR와 ∠RAB에 같은 표시가 있으므로 첫 행동은 “A의 각의 이등분선 표시”라고 적었다.

이어 B에서도 같은 표시를 확인한 뒤 “두 각의 이등분선의 교점 R이므로 내심”이라고 설명했다. 학생은 외심을 의심하지 않은 이유도 덧붙였다. 외심을 찾으려면 수직이등분선과 직각 조건이 필요하지만, 이 문제에는 각을 나눈다는 조건만 있기 때문이라고 했다.

마지막으로 학생은 자신이 세운 판단을 원래 조건에 대입해 검산했다. ∠CAR와 ∠RAB가 같고, ∠CBR와 ∠RBA가 같으므로 R이 각각 A와 B의 각의 이등분선 위에 있다는 점을 다시 확인했다. 정답만 확인한 것이 아니라 첫 선을 각의 이등분선으로 선택한 이유와 외심 조건을 배제한 근거까지 스스로 말하며 풀이를 마쳤다. 이처럼 신방지구중2수학과외에서는 내심을 외운 이름으로 처리하지 않고, 각의 분할 표시와 조건을 근거로 독립적으로 재현하는 과정을 확인했다.