신방지구 고2수학과외







계산을 줄이는 첫 판단
학생의 풀이 기록은 다음과 같았다.
32x - 4·3x + 3 = 0
학생은 32x을 전개하고 각 항을 따로 계산하려 했다. 하지만 이 식은 전개보다 공통 구조를 찾는 것이 먼저다. 32x은 (3x)2이므로 같은 지수항을 하나의 문자로 바꿀 수 있다.
새로운 변수로 구조 확인
t = 3x라고 두면 3은 밑이 양수이고 3x > 0이므로 t > 0이다.
따라서 방정식은 다음과 같이 바뀐다.
t2 - 4t + 3 = 0
(t - 1)(t - 3) = 0
그러므로 t = 1 또는 t = 3이다. t = 3x이므로
- 3x = 1에서 x = 0
- 3x = 3에서 x = 1
해는 x = 0, 1이다.
항의 순서가 바뀌어도 같은 묶음 찾기
다음처럼 항의 위치가 달라져도 판단은 변하지 않는다.
3 + 32x = 4·3x
모든 항을 한쪽으로 옮기면
32x - 4·3x + 3 = 0
이전 식과 같아진다. 중요한 것은 항의 배열이 아니라 32x, 3x, 상수항이 이차방정식의 형태를 이루는지 확인하는 것이다.
두 풀이의 비교
불필요한 전개: 지수항을 각각 계산하려 하면서 식이 길어지고, 32x과 3x의 관계를 놓친다.
구조를 이용한 풀이: t = 3x로 치환해 이차방정식으로 바꾸므로 계산 단계가 짧고 동치도 분명하다.
단, 치환한 t에 t > 0 조건이 있으므로 이차방정식의 해가 모두 원래 방정식의 해가 되는지 반드시 확인해야 한다. 이번에는 t = 1, 3 모두 양수이므로 두 해가 인정된다.
최종 검증
x = 0을 대입하면 1 - 4 + 3 = 0이다.
x = 1을 대입하면 9 - 12 + 3 = 0이다.
두 값 모두 식을 만족한다. 따라서 이 문제의 핵심은 모든 항을 전개하는 것이 아니라, 공통 지수항을 찾아 치환하는 데 있다. 신방지구과외에서도 같은 유형을 만났다면 먼저 3x처럼 반복되는 지수항이 있는지 확인하면 된다.
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고2의 새 단원에서 막혔다고 앞선 내용을 전부 다시 시작할 필요는 없습니다. 현재 예제의 풀이에서 사용한 이전 개념을 표시하고, 그 단계만 따로 해결되는지 확인해 보세요. 연결이 끊긴 부분을 좁힌 뒤 돌아오면 복습 범위가 불필요하게 커지는 것을 줄일 수 있습니다.
유형 이름 없이 시작해 보기
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현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
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선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
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|---|---|---|
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