신방지구 중1수학과외
신방지구 중1수학과외에서 살펴본 ASA 합동조건의 실제 풀이
신방지구과외 수업에서 천안신방중학교가 포함된 생활권의 한 학생과 삼각형의 합동조건을 점검했다. 극동늘푸른아파트와 신방지구 주변에서 자주 접하는 생활 사례를 문제 배경으로 삼았지만, 핵심은 그림의 모양이 아니라 두 각과 그 사이에 있는 변이 각각 대응하는지 판단하는 과정이었다.
도형의 모양보다 대응 관계를 먼저 확인하다
문제에는 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 제시되어 있었고, ∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E라는 표시가 있었다. 학생은 그림을 보자마자 공책에 “각-변-각이므로 ASA”라고 적었다. 이어 두 삼각형이 합동이라고 결론 내렸지만, 어떤 점이 서로 대응하는지는 쓰지 않았다.
풀이를 거꾸로 확인하니 첫 판단에서 예제의 글자 순서를 그대로 기억해 사용한 것이 드러났다. 학생은 ∠A와 ∠D가 서로 같다는 표시만 보고 A와 D를 대응시켰을 뿐, 가운데 변 AB와 DE가 실제로 두 각 사이에 놓인 변인지 확인하지 않았다. 합동조건의 이름을 먼저 고르고 주어진 관계를 나중에 끼워 맞춘 셈이었다.
“ASA라고 부르기 전에, 두 각의 위치와 그 사이의 변을 한 줄로 연결해 보자.”
학생은 그림 위에 A와 D, B와 E를 같은 색으로 표시했다. 그다음 ∠A와 ∠D, AB와 DE, ∠B와 ∠E를 차례로 선으로 이어 보았다. AB는 ∠A와 ∠B 사이의 변이고 DE는 ∠D와 ∠E 사이의 변이므로, 두 각과 그 사이 변이 각각 같다는 사실을 확인할 수 있었다. 그래서 “∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E이므로 △ABC와 △DEF는 ASA 합동”이라고 다시 썼다.
조건의 순서가 바뀐 문제에서 첫 줄을 다시 세우다
다음 문제는 도형을 180도 돌려 놓은 그림이었다. 문제 문장에는 “BC=EF, ∠B=∠E, ∠C=∠F일 때 두 삼각형이 합동임을 설명하라”는 식으로 변, 각, 각의 순서가 섞여 있었다. 학생은 이번에도 먼저 ‘ASA’를 적으려다가 멈추고, 주어진 조건을 도형에 표시했다.
BC와 EF를 각각 색칠한 뒤 B와 E, C와 F를 대응점으로 연결했다. ∠B와 ∠C 사이의 변이 BC이고, ∠E와 ∠F 사이의 변이 EF라는 점이 보였다. 따라서 조건의 제시 순서는 달라도 두 각과 그 사이 변이 대응한다는 결론에 도달했다. 학생은 “∠B=∠E, BC=EF, ∠C=∠F이므로 ASA 합동”이라고 순서를 스스로 재배열했다.
이번에는 질문의 방향도 바꾸었다. “△BCA와 대응하는 삼각형의 이름을 쓰라”는 물음에 학생은 점을 하나씩 대응시켰다. B는 E, C는 F, A는 D이므로 △BCA에 대응하는 순서는 △EFD라고 적었다. 합동조건만 외운 것이 아니라 대응점의 순서를 이용해 합동 기호를 작성한 것이다.
그림을 다시 돌려도 같은 판단을 재현하기
독립 확인에서는 새로운 그림이 제시됐다. 한 삼각형은 위쪽을 향하고 다른 삼각형은 옆으로 회전해 있었으며, 조건은 “∠X와 ∠P, ∠Z와 ∠R가 각각 같고 XZ와 PR의 길이가 같다”처럼 문장 속에 흩어져 있었다. 도움 없이 학생은 먼저 조건에 나온 점을 표시하고, 각 두 개 사이의 변을 찾아 연결했다.
- ∠X와 ∠P를 같은 기호로 표시했다.
- ∠Z와 ∠R도 같은 기호로 표시했다.
- 두 각 사이의 변 XZ와 PR을 확인했다.
- 각-변-각의 대응이므로 두 삼각형이 ASA로 합동이라고 설명했다.
마지막으로 학생은 합동이라고 판단한 뒤 대응 관계를 다시 읽었다. X↔P, Z↔R이므로 남은 꼭짓점도 같은 위치 관계에 있어야 한다고 적고, XZ와 PR이 실제로 두 대응각 사이의 변인지 확인했다. 조건에 없는 변이나 각을 새로 사용하지 않았고, 그림이 회전되어 있어도 위치가 아니라 대응 관계를 근거로 삼았다.
신방지구중1수학과외에서 확인한 변화는 ‘ASA’라는 이름을 말하는 데 있지 않았다. 학생은 첫 식을 쓰기 전에 주어진 각과 변을 표시하고, 두 각 사이의 변인지 확인한 뒤 합동조건을 선택했다. 천안신방중학교가 포함된 생활권의 다른 문제에서도 같은 순서로 대응점을 찾고 조건을 대조한다면, 도형의 방향이나 질문 순서가 달라져도 ASA 합동을 혼자 재현할 수 있다.