인후동 중1수학과외
인후동 중1수학과외에서 살펴본 나이 관계 방정식
인후동과외 수업에서 학생이 가져온 문제는 “현재 아버지의 나이는 아들의 나이의 4배이고, 6년 후에는 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배가 된다. 현재 두 사람의 나이를 구하여라.”였다. 신영통현대타운1단지와 반달마을이 있는 생활권, 전주온빛중학교와 전주화정중학교가 포함된 지역에서 자주 접하는 문장형 문제처럼 보였지만, 학생은 계산보다 먼저 세워야 할 기준을 놓치면서 풀이가 어긋났다.
답안의 한 줄에서 거꾸로 확인한 오류
학생의 공책에는 다음과 같이 적혀 있었다.
아들 나이 = 4x, 아버지 나이 = x
6년 후: 4x+6 = 2(x+6)
계산만 이어 가면 해를 구할 수 있을 것처럼 보였지만, 오류는 계산 중간이 아니라 미지수를 정하는 순간 시작되었다. 문제에서 먼저 제시한 관계는 아버지의 나이가 아들의 나이의 4배라는 뜻이다. 그런데 학생은 아들의 나이를 4배로 두어 두 사람의 역할을 뒤집었다. 따라서 식을 잘못 계산한 것이 아니라, 문장의 주어와 기준이 되는 나이를 바꾸어 적은 것이 최초 판단 오류였다.
학생이 적은 식을 모두 지우게 하지 않고, 먼저 미지수의 뜻만 바로잡았다. “아들의 현재 나이를 x살”이라고 문장으로 쓴 뒤, 아버지의 나이는 그 4배이므로 4x살이라고 연결했다. 이어서 6년 후의 나이를 나란히 적었다.
- 현재 아들: x살
- 현재 아버지: 4x살
- 6년 후 아들: x+6살
- 6년 후 아버지: 4x+6살
이제 “6년 후 아버지의 나이는 아들의 나이의 2배”라는 문장을 식으로 바꾸면 4x+6=2(x+6)이 된다. 양변을 계산하면 4x+6=2x+12, 2x=6, x=3이다. 아들은 3살, 아버지는 12살이라는 값이 나온다.
문장을 표와 새로운 조건으로 바꾸어 다시 읽기
같은 숫자를 반복해서 계산하지 않도록 문제의 외형을 바꾸었다. 이번에는 표에 현재와 5년 후의 나이를 적고, “5년 후 아버지는 아들의 3배”라는 조건을 사용했다. 학생은 먼저 아들의 현재 나이를 x살로 정한 뒤 표의 빈칸을 채웠다.
- 현재: 아들 x, 아버지 4x
- 5년 후: 아들 x+5, 아버지 4x+5
표를 보고 학생은 “나중의 아버지 나이는 나중의 아들 나이의 3배”라고 다시 말한 뒤 4x+5=3(x+5)를 세웠다. 이 식에서 4x+5=3x+15, x=10이므로 현재 아들은 10살, 아버지는 40살이다. 이번에는 숫자부터 대입하지 않고, 표의 같은 시점에 있는 나이를 비교하여 식을 만들었다.
또 다른 문장은 “어머니는 현재 딸보다 24살 많다. 4년 후 어머니의 나이는 딸 나이의 2배가 된다”였다. 학생은 조건이 먼저 나온 순서에 끌려가지 않고, 딸의 현재 나이를 x살로 정했다. 어머니는 x+24살, 4년 후에는 각각 x+4살과 x+28살이므로 x+28=2(x+4)라고 적었다. 이때도 미지수의 대상을 먼저 고른 뒤, 관계를 식으로 연결했다.
힌트 없이 진행한 최종 검산
단원평가 직전에는 새로운 문제를 제시했다. “현재 누나는 동생보다 8살 많다. 4년 후 누나의 나이는 동생 나이의 2배가 된다.” 학생은 도움 없이 동생의 현재 나이를 x살로 정하고 누나를 x+8살로 표현했다. 4년 후의 나이는 x+4와 x+12이므로 x+12=2(x+4)를 세웠고, x=4를 구했다.
학생은 여기서 멈추지 않고 원래 조건에 대입했다. 현재 동생은 4살, 누나는 12살이므로 차이는 8살이다. 4년 후에는 동생 8살, 누나 16살이 되어 누나가 동생의 2배라는 조건도 맞는다. 이어 “미지수는 관계의 기준이 되는 사람의 현재 나이로 정하고, 같은 시점의 나이를 식으로 비교해야 한다”고 자신의 풀이 이유를 설명했다. 인후동중1수학과외에서 확인한 변화는 정답 자체보다, 문장을 읽은 첫 판단과 식의 근거를 스스로 세우고 원조건으로 검산한 과정에 있었다.