인후동 고2수학과외







첫 영점의 위치로 사인그래프 읽기
그래프의 시작점이 원점이 아니라 \(x=\frac{\pi}{3}\)에서 나타난다면, 기본 그래프 \(y=\sin x\)가 오른쪽으로 이동한 상황인지 먼저 확인해야 한다. 인후동과외 수업에서는 식의 부호보다 대표점의 실제 좌표를 먼저 대조해 오답을 줄인다.
그래프에서 확인한 대표점
| 함수 | 첫 영점 | 이동 방향 |
|---|---|---|
| \(y=\sin x\) | \(x=0\) | 기준 |
| \(y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\) | \(x=\frac{\pi}{3}\) | 오른쪽 \(\frac{\pi}{3}\) |
| \(y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) | \(x=-\frac{\pi}{3}\) | 왼쪽 \(\frac{\pi}{3}\) |
부호를 이동 방향으로 바꾸는 법
수평이동은 괄호 안의 부호와 겉으로 보이는 방향이 반대이다. 일반적으로
\[ y=\sin(x-a) \]
는 \(y=\sin x\)를 오른쪽으로 \(a\)만큼 이동한 그래프이고,
\[ y=\sin(x+a) \]
는 왼쪽으로 \(a\)만큼 이동한 그래프이다. 따라서 첫 영점이 \(x=\frac{\pi}{3}\)이고 원점에서 오른쪽으로 올라가는 모양이면 식은
\[ \boxed{y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)} \]
이다.
학생 풀이의 오류를 역추적하기
학생은 \(y=\sin(x+\frac{\pi}{3})\)를 오른쪽 이동으로 판단했다. 그러나 \(x=-\frac{\pi}{3}\)을 대입하면 함수값이 \(0\)이므로 이 식의 첫 영점은 왼쪽에 있다. 식 내부의 부호를 이동 방향과 같은 방향으로 읽은 것이 오류의 원인이다.
교정 전후 비교
- 교정 전: \(+\frac{\pi}{3}\)이므로 오른쪽 이동이라고 판단
- 교정 후: \(x+\frac{\pi}{3}=0\)을 풀어 첫 영점 \(x=-\frac{\pi}{3}\)을 확인
표현이 바뀐 문제에 적용하기
다음 함수의 그래프가 기본 사인그래프를 오른쪽으로 \(\frac{\pi}{6}\)만큼 이동한 것인지 확인해 보자.
\[ y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) =\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right) \]
따라서 수평이동량은 \(\frac{\pi}{6}\)이며, 주기는 \(\pi\)이다. \(2x-\frac{\pi}{3}=0\)에서 첫 영점도 \(x=\frac{\pi}{6}\)으로 일치한다.
최종 확인: 영점과 증가 방향
수평이동된 사인그래프의 식을 고를 때는 다음 두 가지를 함께 확인한다.
- 괄호 안을 \(x-a\) 또는 \(x+a\) 꼴로 정리한다.
- 영점의 위치와 그래프가 증가하는 방향을 실제로 대입해 검증한다.
이 과정을 거치면 \(y=\sin(x-a)\)가 오른쪽 이동이라는 사실을 암기하지 않고도 판단할 수 있다. 필요한 경우 인후동고3수학과외에서는 대표점 표를 만들어 식과 그래프를 역으로 연결한다.