인후동 고1수학과외
인후동고1수학과외, 참·거짓을 판단할 때 풀이 순서가 흔들린 사례
명제의 참과 거짓을 묻는 문제에서 학생은 문장을 읽자마자 몇 개의 자연수를 대입했다. 2와 4에서는 명제가 성립했지만, 그 결과만 보고 참이라고 판단하려 했다. 특정 값에서 맞는다는 사실과 모든 값에서 참이라는 결론을 구분하지 못한 것이 첫 막힘이었다.
몇 개의 예가 전체 명제를 대신할 수 없었던 이유
문제의 명제는 “정수 n에 대하여 n(n+1)은 항상 짝수이다”였다. 학생은 양의 정수만 넣어 확인했지만, 명제의 대상은 모든 정수였다. 따라서 계산 결과를 모으는 것보다 정수의 형태를 빠짐없이 나누는 일이 먼저였다.
정수 n은 짝수이거나 홀수이다. n이 짝수이면 n 자체가 2의 배수이고, 홀수이면 n+1이 짝수이므로 어느 경우에도 n(n+1)은 짝수이다.
학생은 풀이를 두 경우로 나눈 뒤, 각 경우에서 짝수인 인수가 하나씩 생긴다는 점을 문장으로 복원했다. 이 과정을 거치자 예시를 확인하는 것과 명제를 증명하는 것의 차이도 분명해졌다.
표현을 바꾼 명제에 적용하기
이후에는 “두 연속한 정수의 곱은 짝수이다”라는 문장을 식으로 바꾸어 판단하게 했다. 학생은 먼저 연속한 두 정수를 n, n+1로 두고, 짝수와 홀수라는 분류를 그대로 적용했다. 숫자를 대입하지 않고 문장 속 관계를 식으로 옮긴 점이 이전 풀이와 달라졌다.
- n이 짝수이면 곱에 짝수 인수가 포함된다.
- n이 홀수이면 n+1이 짝수이다.
- 두 경우가 정수 전체를 빠짐없이 포함하므로 명제는 참이다.
반례를 찾는 방식으로 결론 확인하기
마지막에는 “두 연속한 정수의 합은 항상 짝수이다”라는 새로운 명제를 제시했다. 학생은 이번에는 경우를 모두 전개하지 않고, 1과 2를 대입해 합이 3임을 확인했다. 명제가 거짓임을 보이려면 조건을 만족하면서 결론을 깨뜨리는 반례 하나면 충분하다는 점을 스스로 설명했다.
이 사례에서 학생은 계산 실수보다 먼저 ‘몇 개의 예 확인’과 ‘전체 경우에 대한 판단’을 구별하는 기준을 세웠다. 이후 참인 명제는 경우 분류로, 거짓인 명제는 반례로 접근하며 풀이 시작점을 선택할 수 있게 되었다.