인후동 고3수학과외

답에서 거꾸로 올라가 찾은 경우의 수 오류

최근 인후동고3수학과외 학습에서 확인된 문제는 계산력이 아니라 순열과 조합을 처음 선택한 순간의 판단을 추적하는 일이었다.

문제는 다음과 같았다. 네 명의 학생 A, B, C, D 중 두 명을 뽑아 앞자리와 뒷자리에 배치하되, A 또는 B가 반드시 포함되도록 할 때 경우의 수를 구하는 문제였다. 학생은 답안의 마지막 줄부터 확인했다. “4명 중 2명을 고르므로 ₄C₂”라고 적힌 줄에 표시한 뒤, 그다음 줄의 배열 계산과 조건 처리를 거꾸로 대조했다.

계산보다 먼저 무너진 선택

뒤에서 이루어진 곱셈은 틀리지 않았다. 그러나 최초의 갈림길에서 이미 ‘두 자리에 순서가 있다’는 사실을 조합으로 처리한 것이 문제였다. 학생은 네 명 중 두 명을 고른 뒤 조건을 적용하려 했지만, 이 문제는 A와 B를 포함하는 사람의 집합뿐 아니라 어느 자리에 앉는지도 세어야 한다. 따라서 첫 단계는 조합이 아니라 순열이어야 했다.

학생은 처음에 전체를 ₄C₂=6으로 세고, A와 B가 모두 빠지는 경우를 하나 빼서 5라고 적었다. 그 뒤 자리를 바꾸는 2를 곱해 10을 얻었지만, 이 방식은 중간 조건을 처리하는 순서가 우연히 맞아떨어진 것처럼 보일 뿐이었다. 답이 틀린 이유를 마지막 곱셈 탓으로 돌리면 다음 문제에서도 같은 선택을 반복하게 된다.

“두 명을 고른다”가 아니라 “두 자리에 순서 있게 놓는다”가 첫 판단이다.

교정할 때는 풀이 전체를 다시 쓰지 않고, 오류가 시작된 줄만 지웠다. 그리고 첫 식 옆에 자리 구분 있음을 적었다. 전체 배치는 ₄P₂=12, A와 B가 모두 빠지는 배치는 C와 D를 두 자리에 놓는 ₂P₂=2이므로, 조건을 만족하는 경우는 12-2=10이다. 처음 답과 숫자는 같지만, 이번에는 왜 순열을 사용했는지 설명할 수 있었다.

조건의 위치를 바꾼 변형

다음 학습에서는 같은 숫자만 바꾸지 않고 문제의 제시 순서를 바꾸었다. “다섯 권의 책 A, B, C, D, E 중 세 권을 골라 순서대로 진열한다. A는 반드시 포함하고, B와 C를 동시에 고르지 않는다”는 직접답형이었다. 보기나 풀이 단서 없이 학생이 첫 식을 세워야 했다.

학생은 먼저 A를 포함하는 배치에서 출발했다. A와 나머지 두 권을 고르는 방법은 네 권 중 두 권을 고르는 ₄C₂에서 B와 C를 함께 고르는 한 경우를 제외한 5가지다. 선택한 세 권을 배열하는 방법은 3!이므로 전체는 5×6=30이다. 이번에는 선택과 배열을 한 줄에 섞지 않고, ‘조건을 적용한 선택’과 ‘자리 배치’를 분리해 적었다.

특히 학생은 사용하지 않은 정보도 표시했다. A가 반드시 포함된다는 조건은 첫 선택에서 사용했고, B와 C를 동시에 고를 수 없다는 조건은 조합의 한 경우를 제거할 때 사용했다. 조건을 모두 사용했는지 확인하자, 단순히 ₅P₃를 계산하는 실수를 피할 수 있었다.

다음 날에도 첫 줄이 달라졌는가

다음 날에는 앞의 교정 표시를 가린 채, 숫자가 다른 직접답형을 제시했다. 여섯 명 중 세 명을 뽑아 순서를 정하고, P는 반드시 포함하되 Q와 R은 함께 선택할 수 없다는 문제였다. 학생은 곧바로 순열식을 쓰지 않고 “P 포함 선택 → Q·R 동시 선택 제외 → 배열”이라는 순서를 먼저 말한 뒤 식을 세웠다.

이때 핵심은 정답만 맞히는 것이 아니었다. 학생은 첫 식의 근거를 설명하고, 조건을 위반하는 선택을 별도로 찾아 제거했다. 마지막으로 제한 조건을 무시한 전체 배치와 비교해 답이 더 작아지는지 확인했다. 계산 결과와 조건이 충돌하지 않자, 처음 오류가 계산 중간이 아니라 순열과 조합을 고르는 첫 판단에서 생겼다는 사실도 스스로 다시 짚었다. 이처럼 인후동고3수학과외 사례에서는 답을 역추적한 뒤, 새로운 조건에서도 선택과 배열을 분리하는 판단이 유지되는지를 확인했다.