천동 중등수학과외

천동중등수학과외, 닮음비 방향을 바꿔도 큰 변 20이 되는지 확인하기

닮은 두 삼각형에서 대응변의 길이가 작은 삼각형 3, 큰 삼각형 6으로 주어지고, 작은 삼각형의 다른 변 10에 대응하는 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답은 20이지만, 정답만 맞혔다고 닮음비를 안정적으로 사용했다고 판단하기는 어렵습니다. 중요한 것은 비례식의 분자에 적은 길이들이 모두 어느 삼각형의 것인지, 그리고 그 기준을 끝까지 유지했는지입니다. 천동중등수학과외에서는 맞힌 풀이도 두 줄의 비례식을 비교하며 정답이 성립하는 근거를 확인할 수 있습니다.

대응변을 같은 줄에 놓아 비례식의 기준을 보입니다

먼저 대응되는 변을 표처럼 나란히 적습니다. 작은 삼각형의 한 변 3은 큰 삼각형의 대응변 6이고, 작은 삼각형의 다른 변 10은 큰 삼각형의 대응변 x입니다. 작은 삼각형을 분자로 정했다면 3/6=10/x처럼 두 분자 3과 10은 모두 작은 삼각형의 길이여야 합니다. 교차곱하면 3x=6×10=60이므로 x=20입니다. 또는 작은 것에서 큰 것으로 갈 때 3이 6이 되어 2배라는 사실을 먼저 확인하여 10×2=20으로 구할 수도 있습니다. 이때 ‘3과 10은 왜 같은 자리에 쓰였을까?’라는 질문에 작은 삼각형의 대응변들이기 때문이라고 연결하면, 계산 순서가 아니라 닮음비의 방향을 이해한 풀이가 됩니다.

순서를 뒤집어도 역비와 구한 길이가 함께 바뀌는지 살핍니다

비교 과제에서는 큰 삼각형을 먼저 써서 6/3=x/10으로 비례식을 세웁니다. 앞의 식 3/6=10/x와 비교하면 비의 방향은 작은 것:큰 것 1:2에서 큰 것:작은 것 2:1로 뒤집혔습니다. 그러나 왼쪽 비와 오른쪽 비를 같은 방향으로 함께 뒤집었으므로 관계는 유지됩니다. 6×10=3x, 즉 60=3x가 되어 x=20으로 다시 구해집니다. 큰 삼각형을 먼저 적었다는 이유만으로 10을 2로 나누어 5라고 하면, 6/3과 10/x의 두 비가 같은 확대 관계를 나타내지 못합니다. 역비를 쓸 수 있는지보다, 한 식 안에서 같은 삼각형의 변을 같은 위치에 놓았는지가 판단 기준입니다.

정답을 가린 뒤 식·표시·대입으로 근거를 다시 확인합니다

확인할 때는 답 20을 먼저 말하게 하기보다, 대응 꼭짓점과 대응변을 표시한 뒤 3과 10, 6과 x를 각각 어느 삼각형에 묶었는지 설명하게 합니다. 말이 짧다면 대응변을 같은 줄에 적은 표, 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로 향하는 화살표, 3→6이 2배라는 식으로도 근거를 보일 수 있습니다. 마지막에는 x=20을 3/6=10/x에 대입해 3/6=10/20=1/2인지 확인하고, 순서를 뒤집은 식에서는 6/3=20/10=2인지 확인합니다. 다음에는 도움 없이 큰 삼각형부터 비례식을 세워 닮음비 2:1과 길이 20을 함께 제시하는지 살핍니다. 두 식에서 분자와 분모가 각각 어느 삼각형의 길이인지 짚고, 같은 결과가 나오는 이유까지 보여 줄 수 있을 때 닮음비 방향의 확인을 다음 문제로 이어갈 수 있습니다.