천동 중2수학과외
부호 하나를 표시하는 순간 달라진 일차부등식 풀이
천동 생활권에는 리더스시티5단지와 신탄진도서관 인근처럼 여러 학습 공간이 이어져 있다. 이 생활권의 중학교 학습 장면을 살펴보며 진행한 천동과외에서는 학생이 일차부등식의 계산 과정은 따라가지만, 음수를 곱하는 순간 부등호를 그대로 두는 모습을 확인했다. 충남중학교와 대전가오중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이지만, 학교별 경향을 전제로 하지 않고 학생의 실제 풀이 기록만 놓고 교정했다.
처음 어긋난 한 줄
학생은 다음 식을 풀었다.
－2x＋3＞7
먼저 양변에서 3을 빼서 －2x＞4까지는 정확히 적었다. 이어서 공책 오른쪽에 “x＞4÷(－2)”라고 쓴 뒤, x＞－2라고 결론을 냈다. 계산 결과만 보면 나눗셈은 맞았지만, 이때의 첫 판단은 음수로 나눌 때도 부등호 방향을 유지한 것이었다. 아직 수직선에 답을 표시하거나 대입하지 않았으므로, 틀린 결과보다 앞선 선택을 찾아야 했다.
학생은 중간 식의 －2를 동그라미 치고도 “양변을 같은 수로 나누면 모양이 같아진다”고 판단했다. 문제는 계산 속도가 아니라, 음수로 양변을 나누는 순간 대소 관계가 뒤집힌다는 조건을 빠뜨린 데 있었다.
계산 과정은 두고, 음수 처리만 고치기
이미 맞게 처리한 3을 없애는 과정은 그대로 유지했다. 그 다음 줄에서 교사는 식 전체를 두 줄로 나누어 적게 했다.
- －2x＞4
- 양변을 －2로 나누면 부등호 방향을 반대로 바꿈
학생은 －2로 나눈 뒤 x＜－2라고 다시 적었다. 교정은 여러 풀이법을 덧붙이는 방식이 아니라, “음수로 곱하거나 나눌 때 부등호를 뒤집는다”는 한 가지 판단을 원래 계산 위치에 연결하는 데 집중했다. 이어 경계값 －2를 원래 식에 넣어 7＞7이 거짓임을 확인하고, x가 －3일 때 9＞7이 참임을 계산했다. 반대로 x가 0이면 3＞7이 거짓이므로 x＜－2라는 범위가 식과 맞는다고 표시했다.
식이 아닌 수직선에서 다시 판단하기
다음 문제는 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸었다. 학생에게 다음 문장을 수직선과 부등식으로 나타내게 했다.
어떤 수에 －3을 곱한 값은 12보다 작거나 같다. 그 수의 범위를 구하여라.
학생은 먼저 －3x≤12라고 식으로 옮겼다. 이번에는 바로 나누지 않고, 수직선에 경계점 후보 －4를 찍었다. －4에서 왼쪽인지 오른쪽인지 잠시 보류한 뒤, －4를 식에 대입하면 12≤12가 성립하므로 경계점을 닫힌 점으로 표시했다. 이어 －5를 넣으면 15≤12가 거짓이고, －3을 넣으면 9≤12가 참이라는 것을 확인해 －4의 오른쪽이 아니라 왼쪽이 답이라고 판단했다.
그 결과 －3x≤12에서 음수 －3으로 나눌 때 부등호가 뒤집혀 x≥－4가 된다는 사실을 수직선의 방향과 연결했다. 질문이 “범위를 구하라”에서 “수직선에 나타내라”로 바뀌었지만, 경계값을 먼저 확인하고 양옆의 수를 원식에 넣는 기준은 스스로 세웠다.
힌트 없이 같은 판단을 꺼내는지 확인
천동중2수학과외 수업의 독립 확인에서는 다음 문제만 제시하고 풀이 중간에 말을 걸지 않았다.
5－4x≥－7을 만족하는 x의 범위를 구하고, 왜 부등호 방향이 바뀌는지 설명하여라.
학생은 5를 먼저 양변에서 빼 －4x≥－12를 만들었다. 그 아래에 “－4로 나누므로 방향 반대”라고 적고 x≤3을 얻었다. 이어 경계값 3을 원식에 대입해 －7≥－7임을 확인했다. x=2에서는 －3≥－7이 참이고, x=4에서는 －11≥－7이 거짓이라고 직접 검산했다.
특히 학생은 “양변에 음수를 곱하거나 나누면 수직선에서 왼쪽과 오른쪽의 순서가 바뀌기 때문에 부등호도 반대로 써야 한다”고 설명했다. 처음처럼 결과만 확인한 것이 아니라, 음수 처리라는 첫 판단을 세우고 경계값과 범위 안팎의 수를 원식에 대입해 근거까지 재현한 장면이었다. 이처럼 대전은어송중학교가 포함된 생활권에서도 일차부등식은 계산 줄마다 부호를 표시하고, 마지막에는 원래 식으로 범위를 확인하는 과정이 핵심이 된다.