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성남동 고2수학과외

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표준편차는 정규분포 곡선의 폭을 바꾼다

평균이 같은 세 정규분포를 비교하는 표에서 출발해 보자.

분포 평균 표준편차 곡선의 특징
A μ 1 가장 좁고 가장 높음
B μ 2 중간 정도로 퍼짐
C μ 3 가장 넓고 가장 낮음

그래프가 오른쪽으로 이동한 것이 아니다

처음 풀이에서는 표준편차가 커지면 곡선 전체가 오른쪽으로 이동한다고 판단했다. 그러나 오른쪽이나 왼쪽으로 이동하는 것은 평균이 달라질 때 나타나는 변화다.

정규분포의 확률밀도함수는

f(x)=1σ2πe(xμ)22σ2

로 나타낸다. 평균 μ가 같으면 세 곡선의 중심과 꼭짓점의 위치는 모두 μ에 있다. 표준편차 σ가 커질수록 자료가 평균 주변에서 더 넓게 퍼지므로 곡선은 낮아지고 넓어진다.

높이와 폭을 함께 확인하기

꼭짓점의 높이 비교

곡선의 최댓값은 1σ2π이다. 따라서 σ가 작을수록 꼭짓점은 높고, σ가 클수록 꼭짓점은 낮다.

그러므로 위 세 분포의 꼭짓점 높이는 A가 가장 높고, B가 그다음이며, C가 가장 낮다. 동시에 곡선의 폭은 A가 가장 좁고 C가 가장 넓다.

전이 문제에 적용하기

평균이 같은 정규분포 N(μ,2), N(μ,4), N(μ,9)가 있다면 표준편차는 각각 1, 2, 3이다.

따라서 곡선의 높이는 첫 번째 분포가 가장 크고, 폭은 세 번째 분포가 가장 크다. 정답은 다음과 같이 정리할 수 있다.

폭: σ=3 > σ=2 > σ=1

높이: σ=1 > σ=2 > σ=3

최종 판단 기준

정규분포 곡선을 볼 때는 먼저 평균으로 중심 위치를 확인하고, 표준편차로 퍼진 정도와 높이를 판단한다. 평균이 같다면 표준편차가 큰 곡선은 오른쪽으로 이동하는 것이 아니라 더 넓고 낮아진다.

이 기준을 적용하면 성남동과외에서 유사한 그래프 비교 문제를 만났을 때도 곡선의 위치와 퍼짐을 혼동하지 않고 정확히 순서화할 수 있다.

성남동 고2수학과외 학부모 후기

주말에 단어장을 다시 펼쳐 보다가 수학 문제를 함께 꺼내 놓은 모습이 눈에 띄었어요. 함수의 식과 그래프를 나란히 두고 같은 조건을 나타내는지 하나씩 대조하고, 나중에 다시 볼 부분이 바로 보이도록 따로 정리해 두었더라고요. 단어장을 보던 중에도 그 행동이 이어진 게 의외로 눈에 들어왔어요. 학교 보충수업을 다녀온 날에는 공부를 끝냈다길래 책상 위를 정리하려 했는데, 아이가 함수 그래프를 다시 그리고 있었습니다. 식만 보고 넘어가는 게 아니라 그래프를 직접 맞춰 보면서 확인하고 있더라고요. 예전에는 복습할 범위를 스스로 고르기보다 그날 배운 내용을 처음부터 다시 훑는 편이었거든요. 성남동 수학과외 이야기를 나누던 때와 비교해도, 이번에는 무엇을 다시 볼지 정한 뒤 식과 그래프를 나란히 놓고 살펴보는 장면이 분명했습니다.

★★★★★학부모 후기

오답이 많이 나온 단원을 다시 펼쳐 놓고 수업 준비물을 챙기다가 아이 문제집을 잠깐 봤어요. 어려운 문제 옆에 별표가 있겠거니 했는데, 계산 과정 중 다시 살펴볼 줄의 번호가 적혀 있더라고요. 막연히 어렵다고 표시한 게 아니라 어느 부분을 봐야 하는지 남겨 둔 게 눈에 띄었습니다. 예전에는 막히는 문제가 나와도 그냥 넘어가거나 따로 표시하지 않았거든요. 그래서 성남동 수학과외라는 말을 듣고도 이런 부분을 유심히 보게 될 줄은 몰랐는데, 이번에는 표시 방식부터 달랐어요. 문제 전체가 아니라 계산 줄을 짚어 둔 모습이었습니다. 수업 전 질문 표시를 확인할 때도 같은 흔적이 보이더라고요. 점검한 부분에 다시 확인할 계산 줄 번호를 그대로 남겨 두어서, 어디를 이어서 볼지 한눈에 알아볼 수 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

성남동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 수업에서 배운 내용을 집에 와서 먼저 이야기하는 날이 많아졌습니다. 예전에는 숙제를 시작하기까지 오래 걸리고 풀이가 길어지면 포기했는데, 선생님이 컨디션에 따라 문제 수를 줄이고 핵심만 짚어 주셔서 답지를 덮고 다시 풀어보는 습관이 생겼습니다. 모르는 부분도 선생님께 다시 설명해 달라고 편하게 말하게 된 점이 가장 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

숙제 검사를 받는 순간마다 선생님이 틀린 문제만 지적하지 않고 풀이 과정을 차분히 물어봐 주셔서 아이가 부담을 덜 느꼈습니다. 성남동에서 수업을 시작한 뒤로는 어려운 문제에 오래 붙잡히기보다 풀이를 다시 설명하며 스스로 정리하려고 하고, 시험기간에도 부족한 부분을 먼저 복습하는 모습이 눈에 띄었습니다. 요즘은 수업 내용을 집에서 먼저 이야기하는 날도 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 낯을 많이 가려 정해 둔 공부량 없이 책상에 앉아 있곤 했는데, 성남동에서 수업을 시작한 뒤 두 번째 수업을 기다리며 지난 내용을 스스로 다시 펼쳐 보더군요. 선생님께서는 아이가 모른다고 말해도 괜찮다며 질문을 천천히 이어 가고, 설명 속도보다 이해했는지를 먼저 살펴 주셨습니다. 시험기간에도 무리하게 재촉하기보다 복습할 부분을 함께 정리해 주셔서 질문할 때 눈치 보던 모습이 조금씩 편안해졌습니다.

★★★★★학부모 후기