성남동 고2수학과외







표준편차는 정규분포 곡선의 폭을 바꾼다
평균이 같은 세 정규분포를 비교하는 표에서 출발해 보자.
| 분포 | 평균 | 표준편차 | 곡선의 특징 |
|---|---|---|---|
| A | μ | 1 | 가장 좁고 가장 높음 |
| B | μ | 2 | 중간 정도로 퍼짐 |
| C | μ | 3 | 가장 넓고 가장 낮음 |
그래프가 오른쪽으로 이동한 것이 아니다
처음 풀이에서는 표준편차가 커지면 곡선 전체가 오른쪽으로 이동한다고 판단했다. 그러나 오른쪽이나 왼쪽으로 이동하는 것은 평균이 달라질 때 나타나는 변화다.
정규분포의 확률밀도함수는
로 나타낸다. 평균 μ가 같으면 세 곡선의 중심과 꼭짓점의 위치는 모두 μ에 있다. 표준편차 σ가 커질수록 자료가 평균 주변에서 더 넓게 퍼지므로 곡선은 낮아지고 넓어진다.
높이와 폭을 함께 확인하기
꼭짓점의 높이 비교
곡선의 최댓값은 이다. 따라서 σ가 작을수록 꼭짓점은 높고, σ가 클수록 꼭짓점은 낮다.
그러므로 위 세 분포의 꼭짓점 높이는 A가 가장 높고, B가 그다음이며, C가 가장 낮다. 동시에 곡선의 폭은 A가 가장 좁고 C가 가장 넓다.
전이 문제에 적용하기
평균이 같은 정규분포 , , 가 있다면 표준편차는 각각 1, 2, 3이다.
따라서 곡선의 높이는 첫 번째 분포가 가장 크고, 폭은 세 번째 분포가 가장 크다. 정답은 다음과 같이 정리할 수 있다.
폭: σ=3 > σ=2 > σ=1
높이: σ=1 > σ=2 > σ=3
최종 판단 기준
정규분포 곡선을 볼 때는 먼저 평균으로 중심 위치를 확인하고, 표준편차로 퍼진 정도와 높이를 판단한다. 평균이 같다면 표준편차가 큰 곡선은 오른쪽으로 이동하는 것이 아니라 더 넓고 낮아진다.
이 기준을 적용하면 성남동과외에서 유사한 그래프 비교 문제를 만났을 때도 곡선의 위치와 퍼짐을 혼동하지 않고 정확히 순서화할 수 있다.