성남동 고1수학과외
성남동 고1수학과외, 집합의 포함 관계에서 빠진 조건 찾기
집합의 포함 관계를 묻는 문제에서 학생은 정의역에 해당하는 조건을 거의 모두 옮겼지만, 특정 조건 하나를 빠뜨린 채 해의 범위를 넓게 정리했다. 계산 과정은 자연스러워 보여 오류가 바로 드러나지 않았고, 결과만 보면 포함 관계가 성립하는 듯했다.
조건 하나가 빠지면서 달라진 집합
예를 들어 전체집합을 \(U=\{1,2,3,4,5\}\), \(A=\{x\in U\mid x\text{는 짝수}\}\), \(B=\{2,4\}\)로 두면 \(A=B\)이다. 하지만 학생이 \(U\)의 범위를 확인하지 않고 자연수 전체를 대상으로 해석하면, 조건에 따라 \(A\)가 달라질 수 있다. 문제에 제시된 전체 범위가 집합의 일부가 아니라 포함 관계를 판단하는 기준이라는 점을 놓친 것이다.
집합을 정리하기 전에 ‘어떤 범위 안에서 원소를 고르는가’를 한 줄로 기록해 보자.
성남동에서 진행한 수업에서는 풀이 중간에 전체집합, 조건, 결과 집합을 세 칸으로 나누어 적게 했다. 이 조건표를 통해 누락된 범위를 찾아 원소를 다시 걸러냈고, 포함 관계를 계산 결과가 아니라 원소의 소속으로 판단하도록 교정했다.
문장 조건을 집합 기호로 바꾸어 보기
이후에는 숫자 목록이 아닌 문장형 문제를 제시했다. \(U\)를 10 이하의 자연수, \(A\)를 3의 배수, \(B\)를 6의 약수로 정하고 \(B\subset A\)인지 판단하게 했다. 학생은 먼저 \(B=\{1,2,3,6\}\)을 구한 뒤, \(1\)과 \(2\)가 \(A\)에 속하지 않으므로 포함 관계가 성립하지 않는다고 판정했다. 단순히 기호의 방향을 외우는 대신 각 원소가 어느 집합에 들어가는지 확인한 점이 달라졌다.
포함 기호의 방향을 바꾸어 검증하기
마지막에는 \(A\subset B\)라는 주장을 보고 반례가 있는지 찾게 했다. \(A\)에서 하나를 골라 \(B\)에 속하는지 확인하는 방식으로 검토하자, 한 원소라도 빠지면 포함 관계가 거짓이 된다는 기준을 스스로 설명했다. 전체 범위와 조건을 다시 대조하면서, 처음처럼 조건을 생략해 불필요한 원소를 남기는 오류도 함께 줄어들었다.