성남동 중2수학과외

성남동 중2수학과외에서 다룬 부등식의 방향

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한 줄의 선택이 범위를 바꾼 순간

학생은 다음 식을 보고 풀이를 시작했다.

−3x＋5 > 14

먼저 양변에서 5를 빼서 −3x > 9라고 적었다. 여기까지는 정확했다. 이어서 양변을 －3으로 나누면서 학생은 부등호를 그대로 둔 채 x > －3이라고 썼다. 계산 결과가 나온 뒤에도 식에 －3을 대입하지 않고 다음 문제로 넘어가려 했다.

이때 결과가 틀렸다고만 지적하지 않고, 어느 순간에 범위가 달라졌는지 되짚었다. 최초의 잘못은 －3으로 나누는 행위 자체가 아니라, 음수를 곱하거나 나눌 때 양의 수를 다룰 때와 같은 방향을 유지한다고 판단한 것이었다. －3x와 9의 크기 관계를 x의 관계로 바꾸려면 부등호 방향도 함께 바뀌어야 했다.

부호를 바꾼 뒤에는 경계값으로 확인하기

학생은 같은 줄에서 부등호를 뒤집어 x < －3으로 고쳤다. 교정은 하나만 적용했다. 음수로 양변을 나누거나 곱할 때 부등호 방향을 반대로 바꾸는 것이다. 이미 맞게 처리한 ‘양변에서 5를 빼기’ 과정은 그대로 두었다.

그다음 －3을 경계값으로 표시했다. 원래 식에 넣으면 －3×(－3)＋5＝14가 되어 등호가 성립한다. 따라서 －3은 포함되는 값이지만, 원래 부등호가 >였으므로 계산 과정에서 경계가 생기는 방식도 따로 살펴야 했다. 학생은 식을 다시 정리해 −3x > 9에서 음수로 나눌 때 x < −3이 되고, －3보다 작은 수를 하나 골라 원식에 대입해야 한다고 설명했다. 예를 들어 x＝－4이면 왼쪽은 17이므로 14보다 크다는 사실도 확인했다.

표와 문장으로 바꿔 본 독립 적용

숫자만 바꾼 문제 대신 표현을 바꾸었다. 어느 수 x에 －2를 곱한 값이 8보다 작거나 같다는 문장을 식으로 옮기게 했다.

“－2를 곱한 수가 8 이하이다.”

학생은 이를 －2x ≤ 8로 적고, 양변을 －2로 나눌 때 x ≥ －4라고 썼다. 이번에는 식 옆에 ‘음수로 나눔’이라고 표시한 뒤 방향을 바꾸었다. 이어 표를 만들었다.

• x＝－5: －2x＝10, 8 이하가 아님
• x＝－4: －2x＝8, 경계값이므로 포함
• x＝－3: －2x＝6, 조건에 포함

표의 값들이 x가 －4 이상일 때만 조건을 만족한다는 것을 확인했다. 질문을 반대로 바꾸어 ‘조건을 만족하지 않는 x의 범위’를 묻자, 학생은 원래 범위의 반대쪽을 무작정 쓰지 않고 －2x > 8로 바꾼 뒤 다시 음수로 나누어 x < －4라고 정리했다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 끝에는 다음과 같이 분모가 있는 표현을 제시했다.

(x－1)÷(－4) ≥ 2

학생은 먼저 양변에 －4를 곱해야 한다고 말한 뒤, “곱하는 수가 음수이므로 방향을 바꾸고, 모든 항에 같은 수를 곱해야 한다”고 설명했다. 그래서 x－1 ≤ －8, 즉 x ≤ －7을 얻었다. 경계값 x＝－7을 원래 식에 넣어 －8÷(－4)＝2이므로 등호가 성립한다고 검산했다. 또 x＝－8은 2.25가 되어 조건을 만족하고, x＝－6은 1.25라서 만족하지 않는다고 비교했다.

성남동과외 수업에서 확인한 변화는 정답 숫자가 아니라 첫 판단의 근거였다. 성남동중2수학과외에서 학생은 새로운 배열이나 문장을 만나도 음수로 곱하거나 나누는지 먼저 표시하고, 방향을 바꾼 이유와 경계값의 포함 여부를 원래 식에 대입해 스스로 확인했다.