대구중구 중2수학과외

순환소수의 반복 구간을 정확히 읽는 중2수학과외

대구중구의 남산자이하늘채와 보성황실타운이 있는 생활권에서 진행한 수업에서 학생은 순환소수의 순환마디를 찾는 문제를 풀었다. 성명여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 다뤄지는 유형처럼 보였지만, 이번 핵심은 단순히 반복되는 숫자를 찾는 것이 아니라 반복이 시작되는 경계와 조건을 구분하는 일이었다.

소수점 뒤 숫자를 모두 같은 무리로 보았던 순간

문제에는 0.2̇7̇처럼 소수점 뒤의 2와 7에 반복 표시가 함께 제시되어 있었다. 학생은 이를 보고 소수 전개를 0.272727…로 적은 뒤, “순환마디는 27”이라고 표시했다. 이어 순환마디의 길이를 묻는 부분에는 2를 적고, 특정 자리의 숫자를 찾는 문항에서는 27을 계속 반복해 대입했다.

계산 과정에서 학생은 소수점 아래 첫째 자리부터 숫자에 동그라미를 쳤고, 27, 2727, 272727을 차례로 적어 반복 여부를 확인했다. 다만 조건에 ‘소수점 아래 둘째 자리부터 반복’이라고 따로 제시된 부분은 표시하지 않은 채, 반복되는 숫자 전체를 하나의 순환 구간으로 처리했다. 이후 자리값을 확인할 때도 시작 위치를 첫째 자리로 고정해 두었다.

순환마디가 무엇인지 찾기 전에, 반복이 시작되는 자리와 반복되지 않는 앞부분을 먼저 나눠야 한다.

처음 어긋난 판단과 한 가지 교정

풀이가 틀어진 최초의 판단은 반복되는 숫자의 모양만 보고 순환마디가 시작되는 위치를 확인하지 않은 것이었다. 숫자가 반복된다는 사실과 반복이 첫 자리부터 시작한다는 사실은 같지 않다. 예를 들어 0.1̇6처럼 첫째 자리부터 반복되는 경우와 0.16̇처럼 둘째 자리의 6부터 반복되는 경우는 표기와 자리 계산이 달라진다.

학생은 이미 적어 둔 소수 전개를 지우지 않고, 소수점 아래 숫자에 시작 경계를 세로선으로 표시했다. 0.16̇을 0.1|666…으로 다시 적은 뒤, 왼쪽의 1은 반복 전 자리, 오른쪽의 6은 순환마디라고 구분했다. 그다음 0.1|666…의 셋째 자리, 넷째 자리를 직접 확인하면서 반복 구간이 6 하나임을 검산했다. 교정은 ‘더 많이 외우기’가 아니라 반복이 시작되는 경계를 먼저 표시하는 한 가지 절차로 이루어졌다.

표현이 바뀐 문제에서 경계를 다시 세우다

다음 문제는 숫자에 반복 표시가 붙은 식이 아니라 문장으로 제시되었다.

• 소수점 아래 첫째 자리에는 3이 놓이고, 둘째 자리부터 1과 8이 번갈아 나타난다.
• 이 소수를 전개하고 순환마디와 다섯째 자리의 숫자를 구하여라.

학생은 먼저 0.3|1818…이라고 적었다. 예전처럼 18만 동그라미 치지 않고, 첫째 자리의 3과 반복이 시작되는 둘째 자리 사이에 경계 표시를 했다. 순환마디는 18, 다섯째 자리는 반복 구간의 둘째 숫자이므로 8이라고 설명했다. 이번에는 질문이 순환마디의 길이가 아니라 특정 자리의 숫자를 묻고 있었기 때문에, 반복 전 자리와 반복 구간의 위치를 따로 세었다.

부호가 바뀐 형태인 -0.4|27̇27…도 제시했다. 학생은 음수 부호가 순환마디에 포함되지 않는다는 점을 먼저 표시하고, 소수점 뒤의 4는 반복 전 자리, 27은 순환마디라고 구분했다. 부호는 값의 방향을 바꾸지만 반복이 시작되는 자리에는 영향을 주지 않는다고 풀이 옆에 적었다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

검증 문제에서는 “0.05|23…에서 소수점 아래 여섯째 자리의 숫자와 순환마디를 구하라”는 문장을 제시했다. 학생은 문제를 읽자마자 0.05|232323…으로 전개하고, 05를 반복 전 부분, 23을 반복 부분으로 나눴다. 여섯째 자리는 반복 구간에서 네 번째 자리가 아니라, 반복 전 두 자리를 제외한 네 번째 반복 위치이므로 3이라고 설명했다.

학생은 마지막으로 0.05232323…을 분수로 되돌리는 확인도 했다. 양변에 100을 곱해 5.232323…을 만들고, 다시 100을 곱한 식과 빼서 반복 부분을 없앴다. 얻은 분수를 소수로 되돌렸을 때 원래 전개와 0.05 뒤의 23 반복이 일치하는지 확인했다. 순환마디를 찾을 때는 숫자 모양보다 반복이 시작되는 경계를 먼저 정하고, 자리값과 분수 검산에서도 그 경계를 유지해야 한다는 판단을 스스로 재현한 장면이었다.

이처럼 대구중구중2수학과외에서는 같은 순환소수라도 표시 방식, 부호, 질문 위치가 달라질 때 경계가 어떻게 유지되는지 실제 풀이로 확인한다.