대구중구 중1수학과외
거듭제곱에서 밑과 지수를 가르는 한 줄
대구중구의 남산자이하늘채와 보성황실타운이 있는 생활권에서 중1 수학 풀이를 이어 가던 학생은 거듭제곱 문제 앞에서 친구의 풀이와 자신의 풀이가 왜 달라졌는지 확인했다. 문제는 23×22를 계산하고, 그 결과를 다른 곱셈 형태의 거듭제곱으로 나타내는 것이었다.
학생은 공책에 먼저 “밑은 2, 지수는 3과 2”라고 적었다. 이어서 2를 세 번 곱한 것과 2를 두 번 곱한 것을 각각 계산하려고 2×2×2×2×2를 썼다. 여기까지는 같은 밑을 반복해서 곱한다는 뜻을 잘 옮긴 과정이었다. 그런데 친구의 풀이에 23+2=25가 적힌 것을 본 뒤, 학생은 “지수끼리 더했으니 밑도 2+2로 바꿔야 한다”고 판단해 45라고 적었다.
어긋난 지점은 계산이 아니라 역할 구분이었다
풀이가 틀어지기 시작한 순간은 곱셈을 계산하기 전, 밑과 지수의 역할을 같은 방식으로 다루기로 한 때였다. 밑은 실제로 반복되는 수이고, 지수는 그 수가 몇 번 곱해지는지를 나타낸다. 따라서 이 문제에서는 두 밑이 모두 2라는 조건을 먼저 표시해야 했다.
학생은 잘못 적은 줄 옆에 밑에는 동그라미, 지수에는 네모를 그렸다.
- 23: 밑 2, 지수 3
- 22: 밑 2, 지수 2
그 다음 두 식을 풀어 쓰며 (2×2×2)×(2×2)가 된다는 것을 확인했다. 같은 수 2가 모두 다섯 번 곱해졌으므로 25이고, 밑을 더해 4로 바꾸는 근거는 없었다. 이미 맞게 적었던 친구의 지수 계산은 유지하고, 밑을 바꾸려던 판단만 바로잡았다.
지수는 반복 횟수를 합치지만, 밑은 주어진 같은 수 그대로 확인한다.
친구의 답을 비교할 때도 먼저 조건을 표시하다
이어 학생은 두 풀이를 나란히 놓았다. 친구는 3+2=5를 계산한 뒤 25라고 썼고, 학생은 2+2=4를 밑에 적용해 45라고 썼다. 학생은 각 답을 곱셈으로 되돌렸다. 25=2×2×2×2×2=32이지만, 45는 4가 다섯 번 곱해진 수이므로 원래 식의 다섯 개의 2와 다르다. 친구의 답은 원래 곱셈과 연결되고 자신의 답은 연결되지 않는다는 점을 한 줄로 설명했다.
이 장면은 대구제일중학교가 포함된 생활권에서 이루어진 학습 사례를 참고한 대구중구과외 수업 기록처럼, 특정 학교의 시험을 단정하지 않고 한 풀이의 판단만 살핀 것이다. 중요한 것은 답을 외우는 일이 아니라, 거듭제곱을 곱셈으로 펼쳤을 때 밑과 지수가 각각 어떤 모습으로 남는지 확인하는 일이었다.
식이 아닌 말과 표로 바꾸어 적용하기
다음 문제에서는 식을 바로 주지 않았다. “3을 네 번 곱한 수와 3을 두 번 곱한 수를 곱하면, 이를 하나의 거듭제곱으로 나타내라”는 문장이 제시되었다. 학생은 문장에서 반복되는 수에 밑 표시를 하고, 반복 횟수에 지수 표시를 했다.
(3×3×3×3)×(3×3)을 먼저 적은 뒤, 3이 모두 여섯 번 나온다고 세어 36을 얻었다. 이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문장을 식으로 바꾸는 과정이었다. 학생은 “두 묶음의 반복 횟수 4와 2를 합치되, 반복되는 수 3은 바꾸지 않았다”고 근거를 적었다. 이어 표의 두 칸에 ‘반복되는 수’와 ‘반복 횟수’를 나누어 적고, 3 | 4, 3 | 2를 확인한 뒤 결과를 3 | 6으로 정리했다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
다음 날 학생은 도움 없이 52×53을 풀었다. 먼저 두 식의 밑을 각각 5로 표시하고 지수를 2와 3으로 분리했다. 그 뒤 (5×5)×(5×5×5)로 되돌려 5가 다섯 번 곱해진다는 이유를 설명하며 55를 썼다.
학생은 여기서 멈추지 않고 55=3125와 원래 식의 곱셈 결과를 대조했다. “밑은 반복되는 수라서 5로 유지하고, 지수는 반복 횟수라서 2와 3을 합쳤다. 곱셈으로 다시 펼쳐도 5가 다섯 개이므로 조건과 맞는다”고 스스로 말했다. 같은 개념을 문장과 표로 바꾸어도 이 기준을 재현했으므로, 이번에는 밑과 지수를 혼동하지 않고 풀이를 완성했다.
이처럼 대구중구중1수학과외에서는 거듭제곱의 모양만 기억하기보다, 주어진 수와 반복 횟수를 분리해 표시하고 필요할 때 곱셈으로 되돌리는 과정을 중심으로 풀이를 점검할 수 있다.