대구중구 중3수학과외
대구중구 중3수학과외에서 확인한 ‘제곱근의 부호’ 한 장면
대구중구과외 수업에서 채점 직후 풀이를 다시 살펴보던 중, 한 학생의 답안에 같은 유형의 실수가 반복되어 있었습니다. 남산자이하늘채와 보성황실타운이 있는 생활권, 대구은행 인근에서 중학교 수학을 준비할 때도 자주 마주치는 문제지만, 이번에는 계산보다 양의 제곱근과 음의 제곱근을 구별하는 기준만 집중해서 확인했습니다. 성명여자중학교, 계성중학교 등이 포함된 대구중구 생활권의 학습 사례로 볼 수 있습니다.
답안에서 가장 먼저 보인 선택
문제는 다음과 같았습니다.
제곱하여 49가 되는 수를 모두 구하고, √49의 값을 쓰시오.
학생은 먼저 문제의 숫자 49에 밑줄을 긋고 다음처럼 적었습니다.
x²=49, 따라서 x=7
√49=7
√49의 값은 7이라고 쓴 부분은 맞았습니다. √ 기호가 붙은 값은 양의 제곱근을 뜻하기 때문입니다. 하지만 첫 번째 물음인 “제곱하여 49가 되는 수를 모두” 구하는 과정에서 7 하나만 적은 것이 최초의 어긋난 지점이었습니다. (-7)²도 49이므로, 방정식 x²=49의 해를 하나만 남길 수 없습니다.
학생은 채점 뒤 일반적인 경우와 달라지는 경우를 따로 적어 보았습니다. ‘49에서 제곱근은 7과 -7’이라고 썼지만, 곧바로 ‘√49=±7’이라고 고쳐 쓰려는 흔적도 있었습니다. 여기서 두 표현을 섞은 것이 문제였습니다. √49는 양의 제곱근 하나인 7이고, 제곱해서 49가 되는 수는 7과 -7입니다.
딱 한 곳만 바꾼 기록
풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 처음 선택한 x=7만 점검했습니다. “제곱해서 같은 양수가 되는 값은 부호가 반대인 두 개까지 가능한가?”라고 묻자 학생은 7²=49를 계산한 뒤 (-7)²도 49임을 직접 확인했습니다.
그래서 해당 줄만 다음처럼 바꾸었습니다.
x²=49 → x=±7
√49=7
이미 맞았던 √49=7은 그대로 두고, x²=49에서 빠진 음의 값만 보완했습니다. 이때 ±는 √49의 값 앞에 붙이는 기호가 아니라, 제곱해서 49가 되는 두 수를 함께 나타낼 때 사용한다는 점을 구별했습니다.
- √49: 49의 양의 제곱근이므로 7
- x²=49: x를 제곱해 49가 되므로 x=7 또는 x=-7
- 확인: 7²=49, (-7)²=49
표현을 바꾼 문제에서 기준 찾기
같은 숫자를 다시 제시하지 않고 문제의 모양을 바꾸었습니다.
다음 표에서 □에 들어갈 수를 모두 쓰시오.
□²=36
또한 √36과 -√36 중 양의 제곱근을 고르시오.
이번에는 제곱식이 먼저 나오고, 제곱근을 묻는 표현이 뒤에 배치되어 있었습니다. 학생은 먼저 □²=36을 보고 “제곱 결과가 36인 수는 부호가 서로 다른 두 값”이라고 판단하여 □=6 또는 -6을 적었습니다. 이어 √36과 -√36을 비교하면서 √36=6, -√36=-6으로 나누어 표시했습니다.
문제의 조건이 한 문장 안에 함께 있지 않아도, 기준은 변하지 않았습니다. 제곱식은 두 부호를 확인하고, √ 기호 자체는 양의 제곱근을 선택합니다. 36처럼 양수인 수에서는 두 값이 생기지만, 0을 제곱해서 얻는 값은 0 하나뿐이라는 경계도 덧붙여 확인했습니다. 0과 -0은 서로 다른 두 값으로 세지 않습니다.
힌트 없이 남긴 마지막 검산
마지막에는 다음 문제를 도움 없이 풀었습니다.
√64의 값을 쓰고, y²=64를 만족하는 y의 값을 모두 구하시오. 두 결과가 왜 다른지 설명하시오.
학생은 먼저 “√64는 제곱근 중 양의 값을 뜻하므로 8”이라고 적었습니다. 이어 “y²=64에서는 8과 -8을 각각 제곱할 수 있으므로 y=±8”이라고 설명했습니다. 검산도 빠뜨리지 않았습니다.
8²=64, (-8)²=64이므로 두 값이 조건을 만족하고, √64=8인 까닭은 제곱근 기호가 양의 제곱근을 가리키기 때문이라고 마무리했습니다. 대구중구중3수학과외에서 확인한 이번 풀이의 핵심은 계산량이 아니라, 제곱근 기호와 제곱식에서 요구하는 값의 범위를 끝까지 구별하는 것이었습니다.