대구동구 중3수학과외

대구동구 중3수학과외에서 살펴본 제곱근의 부호 선택

대구동구과외 수업에서 학교 프린트를 다시 풀던 중, 한 학생의 풀이 첫 줄에서 답이 갈리는 장면이 나왔습니다. 문제는 “방정식 \(x^2=49\)를 만족하는 \(x\)의 값을 구하여라”였습니다. 대구지식산업작은도서관 인근 생활권이나 태왕메트로시티가 있는 생활권에서 중3수학을 공부할 때도 자주 만날 수 있는 유형이지만, 계산보다 먼저 확인해야 할 것이 있었습니다. 대구동구중3수학과외에서는 그 첫 판단을 기록으로 남겨 보았습니다.

계산보다 먼저 나타난 한 줄

학생은 문제에서 \(x^2=49\)를 읽고 다음처럼 적었습니다.

\(x=\sqrt{49}=7\)

따라서 답은 \(7\)

제곱근을 계산한 \(7\) 자체는 틀리지 않았습니다. 하지만 문제는 “49의 양의 제곱근을 구하라”가 아니라, 제곱해서 49가 되는 \(x\)를 모두 묻고 있었습니다. 학생은 계산을 시작하기 전에 ‘한 양수에서 나오는 두 제곱근과 부호’를 확인하지 않고, 양의 값 하나만 답으로 확정했습니다. 이 지점이 나중의 계산실수보다 먼저 어긋난 판단이었습니다.

실제로 \(7^2=49\)뿐 아니라 \((-7)^2=49\)도 성립합니다. 제곱하면 양수 49가 되는 수는 \(7\)과 \(-7\)이므로, 방정식의 해는 두 개입니다. 여기서 중요한 것은 기호를 무조건 붙이는 것이 아니라, 문제의 표현을 읽고 ‘제곱해서 주어진 양수가 되는 두 값’을 찾는 것입니다.

첫 식의 이유를 바꾼 기록

오류와 직접 연결된 행동은 첫 줄에 확인 내용을 적는 것으로 한정했습니다. 이미 맞았던 \(7^2=49\) 계산은 그대로 두고, 답을 하나로 고정하기 전에 다음과 같이 다시 기록했습니다.

• 주어진 식: \(x^2=49\)
• 확인할 것: 제곱해서 49가 되는 값은 양수와 음수 모두 있는가?
• 양의 값: \(7\), 음의 값: \(-7\)
• 결론: \(x=7\) 또는 \(x=-7\)

이렇게 쓰면 \(\sqrt{49}=7\)이라는 계산과 방정식의 해를 구하는 일이 섞이지 않습니다. \(\sqrt{49}\)는 49의 양의 제곱근을 가리키지만, \(x^2=49\)의 해를 묻는 상황에서는 그와 반대 부호인 값도 함께 살펴야 합니다. 이번 교정에서는 근삿값을 구하거나 다른 제곱근 문제로 넓히지 않고, 처음 빠뜨린 음의 제곱근만 되찾았습니다.

표현을 바꾼 문제에서 같은 기준 세우기

같은 개념을 확인하기 위해 숫자만 바꾼 식 대신 질문의 방향을 바꾸었습니다.

수직선에서 어떤 수 \(a\)와 \(-a\)가 모두 표시되어 있고, 두 수를 각각 제곱하면 81이 된다. \(a\)의 양의 값을 구하고, 제곱해서 81이 되는 모든 수를 써라.

학생은 먼저 “\(a\)의 양의 값”이라는 질문에는 \(a=9\)라고 적었습니다. 이어서 두 번째 질문에서는 앞 문제처럼 양의 값만 반복하지 않고, 제곱 결과가 81이 되는 값들을 따로 확인했습니다.

• \(9^2=81\)
• \((-9)^2=81\)
• 따라서 제곱해서 81이 되는 수는 \(9,-9\)

이번에는 ‘양의 제곱근 하나를 묻는지’, ‘제곱 결과가 주어진 수가 되는 모든 값을 묻는지’를 문장 속에서 구분했습니다. 같은 양수에서 두 부호의 값이 나올 수 있다는 기준은 유지하되, 식만 바꿔 반복하지 않고 수직선과 질문의 순서를 활용했습니다.

힌트 없이 남긴 마지막 검산

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 제시했습니다.

\(y^2=121\)을 만족하는 \(y\)를 모두 구하고, 구한 값이 조건에 맞는지 설명하여라.

학생은 곧바로 답을 쓰지 않고 “제곱해서 121이 되는 양수와 음수를 모두 확인한다”고 말한 뒤 \(y=11\) 또는 \(y=-11\)을 적었습니다. 이어서 각각을 직접 제곱했습니다.

• \(11^2=121\)
• \((-11)^2=121\)

두 결과가 모두 주어진 121과 같으므로 두 값 모두 조건을 만족한다고 설명했습니다. 반대로 \(11\)만 적으면 \((-11)^2=121\)인 경우를 빠뜨리게 된다는 점도 스스로 덧붙였습니다. 마지막까지 계산 전 부호를 확인하고, 양의 값과 음의 값을 각각 제곱해 검산하는 기준을 독립적으로 재현한 것입니다.