대구동구 중1수학과외
곱셈 모양이 달라져도 밑과 지수를 읽는 방법
대구동구과외 수업에서 학생이 거듭제곱 문제를 풀며 멈춘 지점은 계산 자체가 아니었다. 문제에는 23×32와 8×9가 함께 제시되어 있었고, “밑이 2인 거듭제곱과 밑이 3인 거듭제곱을 각각 찾아 지수의 합을 구하라”는 조건이 붙어 있었다. 태왕메트로시티와 대구지식산업작은도서관 인근 생활권, 강동중학교가 포함된 지역에서 진행한 풀이에서도 이처럼 표현을 바꾸어 읽는 장면이 중요했다.
학생이 적은 첫 줄에서 시작된 혼동
학생은 식 위에 작은 숫자 3과 2를 동그라미 치고, 아래 숫자 2와 3에는 별표를 표시했다. 그런데 곧바로 “2와 3을 곱하고, 지수도 3과 2를 곱하면 36”이라고 적었다. 계산 결과가 틀렸다는 점보다 먼저 확인할 것은, 학생이 거듭제곱의 구성 요소를 구분하기 전에 곱셈을 시작했다는 사실이었다. 밑은 반복해서 곱해지는 수이고, 지수는 그 밑이 몇 번 나타나는지를 나타내는데, 이 순서를 건너뛴 것이다.
식의 각 부분을 다시 나누어 쓰자 학생은 다음과 같이 정리했다.
23에서 밑은 2, 지수는 3이다.
32에서 밑은 3, 지수는 2이다.
그 뒤에는 두 거듭제곱을 곧바로 하나의 수로 섞지 않고, 23=2×2×2=8, 32=3×3=9로 각각 펼쳤다. 문제의 조건이 “밑이 2인 것”과 “밑이 3인 것”을 찾는 것이므로 후보를 먼저 표시하고, 그에 해당하는 지수만 읽어 3+2=5라고 답했다. 이미 맞게 표시한 작은 숫자는 그대로 두고, 계산에 앞서 밑과 지수를 확인하는 한 단계만 보완한 것이다.
같은 개념을 다른 모습으로 다시 읽기
다음 문제는 식이 아니라 문장으로 제시되었다. “어떤 수를 같은 수끼리 네 번 곱한 것이 5의 거듭제곱으로 나타나 있다. 밑과 지수를 쓰고, 이를 곱셈식으로 나타내라.” 학생은 먼저 문장에서 반복되는 수를 찾아 5×5×5×5라고 적었다. 같은 수가 네 번 곱해졌으므로 이를 54로 바꾸었고, 밑은 5, 지수는 4라고 설명했다.
이번에는 문제의 질문 방향을 바꾸어 “밑이 4이고 지수가 3인 거듭제곱을 곱셈식과 값으로 나타내라”고 했다. 학생은 43=4×4×4=64라고 썼다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 앞에서는 문장을 식으로 바꾸었고 이번에는 거듭제곱 표현에서 곱셈식과 값을 차례로 만들어야 했다. 학생은 두 표현 사이를 오가며 밑은 반복되는 수, 지수는 반복 횟수라는 근거를 한 문장으로 덧붙였다.
조건이 바뀐 후보를 걸러 내기
표에 24, 42, 33, 81이 놓이고 “밑이 2 또는 3인 항만 고르라”는 조건이 제시되자, 학생은 지수를 먼저 보지 않고 각 항의 왼쪽 아래 수에 표시했다. 24와 33만 남기고, 42와 81은 조건에 맞지 않는 후보로 지웠다. 이어 “선택한 두 항의 지수를 더하라”는 질문에 4와 3을 읽어 7을 구했다. 81은 값이 8이라는 이유만으로 고른 것이 아니라, 밑이 8이므로 제외했다고 설명했다.
대구동구중1수학과외에서 확인한 최종 검증은 힌트 없이 진행했다. 학생은 새로 제시된 6×6×6×6을 보고 먼저 같은 수가 네 번 반복된다는 점을 말한 뒤 64로 나타냈다. “밑이 6, 지수가 4”라고 적고, 다시 곱셈식으로 펼쳐 원래 네 개의 6과 일치하는지 확인했다. 이어 72와 7×7을 비교하며 지수 2가 곱해진 인수의 개수와 맞는지도 스스로 점검했다. 마지막으로 조건에 맞는 항을 고를 때는 작은 숫자를 먼저 읽지 않고, 밑을 확인한 뒤 지수를 읽겠다고 풀이 순서를 설명했다.