봉산동 중3수학과외
봉산동 중3수학과외에서 확인한 다항식 곱셈의 연결 기준
봉산동과외 수업에서 오답노트를 함께 복기하던 중, 다항식과 다항식의 곱셈에서 계산보다 먼저 확인해야 할 기준이 드러났습니다. 봉산뜨란채가 있는 생활권이나 화성그랜드파크 도서관 함지원 인근에서 문제를 접했더라도 핵심은 장소가 아니라, 두 괄호의 모든 항이 서로 한 번씩 연결되는지 판단하는 일이었습니다. 대구제일중학교가 포함된 생활권의 중3수학 문제를 살펴볼 때도 같은 기준을 적용할 수 있습니다.
적은 식보다 먼저 확인할 항의 경계
문제는 다음과 같았습니다.
(2x-3)(x+4)를 전개하여 간단히 하시오.
학생의 오답노트에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.
(2x-3)(x+4)=2x²+8x-3x+4=2x²+5x+4
학생은 첫 번째 항인 2x와 두 번째 괄호의 x, 4를 곱했고, -3과 x도 곱했습니다. 그러나 -3과 4를 연결할 때 부호를 바꾸지 않고 +4라고 적었습니다. 계산 결과만 보면 마지막 상수항이 틀린 것이지만, 더 먼저 어긋난 판단은 두 괄호의 항을 모두 연결하는 과정에서 -3과 +4도 반드시 곱해야 하며, 그 부호까지 함께 보아야 한다는 경계를 놓친 것이었습니다.
수업에서는 이미 맞았던 세 항의 연결은 그대로 두고, 빠진 판단 하나만 다시 표시했습니다. 첫 괄호의 -3에서 두 번째 괄호의 각 항으로 화살표를 그리면 다음과 같습니다.
- 2x×x=2x²
- 2x×4=8x
- -3×x=-3x
- -3×4=-12
따라서 전개식은 2x²+8x-3x-12이고, 동류항을 정리하면 2x²+5x-12입니다. 여기서 교정한 행동은 풀이법 전체를 바꾼 것이 아니라, 두 괄호의 항을 표처럼 하나씩 연결해 마지막 곱의 부호까지 적은 것뿐입니다.
모양이 달라져도 같은 연결을 찾기
며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 항의 위치와 부호가 달라진 식을 제시했습니다.
(3a-2b+1)(a-5)를 전개하여 정리하시오.
이번에는 첫 괄호에 항이 세 개 있고, 두 번째 괄호에 항이 두 개입니다. 따라서 연결해야 할 곱은 모두 여섯 개입니다.
- 3a×a=3a²
- 3a×(-5)=-15a
- -2b×a=-2ab
- -2b×(-5)=10b
- 1×a=a
- 1×(-5)=-5
이를 한 줄로 모으면 3a²-15a-2ab+10b+a-5입니다. 같은 종류의 항끼리 정리할 수 있는 부분은 -15a와 a뿐이므로 결과는 3a²-14a-2ab+10b-5가 됩니다. 여기서 중요한 것은 항의 순서가 바뀌거나 문자가 달라져도, 한 괄호의 각 항이 다른 괄호의 모든 항과 연결된다는 기준은 변하지 않는다는 점입니다. -2b와 -5처럼 음수가 두 번 곱해지는 경우에는 두 부호를 함께 읽어야 합니다.
힌트 없이 다시 세운 전개와 검산
마지막에는 풀이 순서나 표시 없이 다음 식을 제시했습니다.
(y+2-3x)(2x-y)를 전개하고, 전개 전후에 x=1, y=2를 대입하여 확인하시오.
학생은 먼저 항의 수를 세어 3개와 2개이므로 곱이 여섯 개 나와야 한다고 판단했습니다. 이후 다음처럼 기록했습니다.
y×2x=2xy, y×(-y)=-y²
2×2x=4x, 2×(-y)=-2y
-3x×2x=-6x², -3x×(-y)=3xy
따라서 전개 결과는 -6x²+5xy-y²+4x-2y입니다. 전개 전 식에 x=1, y=2를 넣으면 (2+2-3)(2-2)=1×0=0입니다. 전개한 식에 같은 값을 넣으면 -6+10-4+4-4=0이므로 두 값이 일치합니다.
학생은 마지막에 “항이 많은 쪽의 한 항을 기준으로 상대 괄호의 모든 항을 먼저 곱하고, 다음 항으로 넘어가면 빠뜨릴 가능성이 줄어든다”고 설명했습니다. 봉산동중3수학과외에서 확인한 변화도 바로 이 부분입니다. 정답만 맞힌 것이 아니라, 새로운 식에서 스스로 항의 연결 범위를 정하고 부호를 확인한 뒤 값 대입으로 전개가 같은지 검증했습니다.