봉산동 고1수학과외
봉산동 고1수학과외, 계산보다 귀류법의 구조를 먼저 세운 사례
학생은 “√2가 무리수임을 증명하라”는 문제에서 곧바로 소수 근삿값을 계산했다. 값이 끝없이 이어진다는 점을 근거로 답을 쓰려 했지만, 근삿값은 무리수임을 증명하는 논거가 될 수 없었다.
모순이 생기는 지점을 먼저 정리하다
이번에는 결론을 바로 주장하지 않고, √2가 유리수라고 가정했다. 이를 서로소인 정수 p, q(q≠0)에 대해 √2=p/q로 나타낸 뒤 양변을 제곱하여 p2=2q2를 얻었다.
귀류법에서는 반대 가정을 세운 뒤, 그 가정이 동시에 성립할 수 없는 결과까지 연결해야 한다.
p2이 짝수이므로 p도 짝수이고, p=2k로 두면 q2=2k2이 되어 q도 짝수가 된다. 그러면 p, q가 서로소라는 설정과 모순이다. 학생은 계산 결과만 적던 방식에서 벗어나, ‘반대 가정 → 식 변형 → 모순’의 연결을 문장으로 표시했다.
문자와 명제를 바꿔 구조를 옮기다
다음에는 √3이 유리수라고 가정하는 문제를 적용했다. 숫자만 대입하지 않고 √3=a/b를 세운 다음 a2=3b2를 얻었다. 3의 배수인 제곱수의 성질을 이용해 a와 b가 모두 3의 배수라는 모순으로 결론을 구성했다.
표현이 바뀌어도 반대 가정을 먼저 적고, 그 가정에서 출발한 결과가 최초의 서로소 조건과 충돌하는지 확인하게 했다. 이는 √2의 계산을 반복한 것이 아니라 문자와 소인수 조건을 바꾼 적용이었다.
처음 보는 명제에서 논리 방향을 점검하다
마지막에는 “정수의 제곱이 홀수이면 그 정수도 홀수이다”라는 명제를 귀류법으로 검토했다. 정수가 짝수라고 가정하면 그 제곱도 짝수가 되어 주어진 조건과 충돌하므로 명제가 성립함을 확인했다.
학생은 최종 답에서 계산값을 내세우지 않고, 가정한 명제와 실제 조건이 어디에서 충돌하는지 표시했다. 봉산동 도서관에서 복습할 때도 같은 방식으로 풀이의 논리 방향을 확인하며, 귀류법을 단순한 공식이 아닌 구조적인 증명 방법으로 정리했다.