봉산동 고3수학과외
주기가 끝나는 곳에서 답이 달라진 삼각함수 풀이
봉산동 생활권의 도서관에서 진행한 고3 수학과외 복기 시간에, 학생은 삼각함수 방정식의 답 개수는 잘 세면서도 각의 범위를 끝까지 통제하지 못한 풀이를 가져왔다. 문제는 cos 2x = cos x, -π ≤ x ≤ π의 해를 구하는 것이었다. 학생은 먼저 “코사인 값이 같으므로 두 각은 부호가 같거나 반대이고, 2π만큼 차이 난다”는 방식으로 식을 나누었다.
그런데 풀이 초반에 범위의 끝점인 -π와 π를 따로 표시하지 않고, 평소 자주 보던 일반 구간의 해 규칙을 그대로 적용했다. 그 결과 2x=2kπ+x에서 x=2kπ를 얻은 뒤 k=±1까지 후보로 남겨 -2π와 2π를 적었다. 둘 다 주어진 범위를 벗어나므로 최종 답에는 들어갈 수 없지만, 더 근본적인 문제는 계산 뒤에 범위를 확인한 것이 아니라 일반 규칙을 먼저 확정했다는 데 있었다. 경계에서 부호나 특수값이 달라지는지 살피지 않은 채 후보를 늘린 셈이다.
범위를 식 옆에 고정한 순간
풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 학생에게 식의 오른쪽에 범위를 한 줄로 옮겨 적게 했다. 그다음 코사인 등식의 두 경우를 분리했다.
- 2x=2kπ+x이므로 x=2kπ
- 2x=2kπ-x이므로 3x=2kπ, 즉 x=2kπ/3
이제 각 경우의 후보를 -π≤x≤π에 직접 대입해 걸렀다. 첫 번째 식에서는 x=0만 남고, 두 번째 식에서는 x=-2π/3, 0, 2π/3이 남는다. 중복된 0을 한 번만 세면 해는 -2π/3, 0, 2π/3이다. 학생은 이때 “k의 범위를 감으로 정하는 것이 아니라, 나온 x를 원래 범위에 넣어 확인해야 한다”고 자신의 수정 이유를 설명했다.
특히 -π와 π를 무조건 후보로 넣는 것도 잘못임을 확인했다. 두 끝점에서 cos 2x=cos(±2π)=1이고 cos(±π)=-1이므로 원래 방정식을 만족하지 않는다. 끝점은 범위에 포함되어 있더라도 자동으로 해가 되는 값이 아니라, 반드시 원식에 대입해야 하는 값이었다. 이런 경계 확인 습관은 봉산동과외에서 삼각함수 문항을 복기할 때도 계산보다 먼저 점검할 기준으로 정리했다.
구간을 바꿔도 남아 있는 판단
다음 복기에서는 해설을 덮고 문제를 바꾸었다. 이번에는 sin 2x=sin x, 0≤x≤3π/2를 제시했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 코사인에서 사인으로 바뀌고 구간의 오른쪽 끝이 2π가 아닌 3π/2가 되도록 했다.
학생은 곧바로 사인 등식의 두 갈래를 적었다.
- 2x=x+2kπ에서 x=2kπ
- 2x=π-x+2kπ에서 x=π/3+2kπ/3
그는 첫 번째 갈래에서 x=0만 범위에 들어온다고 판단했고, 두 번째 갈래에서는 k=0일 때 π/3, k=1일 때 π를 남겼다. k=-1이면 -π/3으로 범위 밖이며, k=2이면 5π/3으로 3π/2를 넘는다는 설명도 덧붙였다. 이전 문제의 해를 기억해 옮긴 것이 아니라, 새 범위에 맞춰 k를 다시 제한한 것이다.
힌트 없이 확인한 경계 감각
마지막으로 조건 하나를 제거해 sin 2x=sin x, 0≤x≤2π를 풀게 했다. 학생은 먼저 두 갈래를 세운 뒤, 두 번째 갈래에서 π/3, π, 5π/3을 얻고 첫 번째 갈래에서 0과 2π를 확인했다. 이어 끝점 2π를 원식에 대입해 양변이 모두 0임을 검산했다. 반대로 직전 문제의 3π/2에서는 2π가 범위 밖이었기 때문에 해가 될 수 없었다는 차이까지 설명했다.
처음에는 일반적인 주기 규칙을 경계에 그대로 밀어 넣었지만, 최종 풀이에서는 각의 범위, 후보의 허용 여부, 끝점의 원식 대입, 사분면에 따른 부호를 차례로 확인했다. 봉산동고3수학과외에서 확인한 변화는 정답 개수가 아니라, 조건이 바뀌어도 “해를 구한 뒤 범위로 되돌아가 검증한다”는 판단을 스스로 유지했다는 점이다.