대봉동 중3수학과외
대봉동 중3수학과외, 전개 전에 멈춰 세운 한 줄
대봉동과외 수업에서 다항식의 곱셈을 다룰 때는 계산 속도보다 먼저 어떤 항과 어떤 항을 연결해야 하는지 확인하는 과정이 중요합니다. 남산자이하늘채와 보성황실타운이 있는 생활권, 그리고 경북대학교사범대학부설중학교가 포함된 지역의 중3 학생과 서술형 문제를 풀며 실제 답안의 첫 줄부터 살펴보았습니다.
답안에 남은 첫 전개
문제는 다음과 같았습니다.
(2x-3)(x+4)를 전개하여 정리하시오.
학생은 식을 읽은 뒤 괄호 안의 항을 표시하지 않고 곧바로 다음처럼 적었습니다.
2x×x=2x², -3×4=-12
따라서 2x²-12
겉으로는 곱셈을 시작했지만, 첫 괄호의 두 항 2x, -3과 둘째 괄호의 두 항 x, 4가 모두 연결되어야 한다는 조건을 확인하지 않았습니다. 학생은 계산한 두 곱 자체는 틀리지 않았지만, 2x와 4의 곱, -3과 x의 곱을 만들지 않았습니다.
계산 실수보다 앞선 판단
이 답안에서 가장 먼저 어긋난 지점은 부호 계산이 아닙니다. 첫 계산 전에 ‘각 괄호의 모든 항이 서로 한 번씩 연결되는가?’를 확인하지 않은 판단입니다. 이 판단이 빠지자 곱셈 두 개만 남고, 가운데 항 두 개가 사라졌습니다.
수업에서는 식 위에 선을 그어 연결 관계를 먼저 보이게 했습니다.
- 2x와 x → 2x²
- 2x와 4 → 8x
- -3과 x → -3x
- -3과 4 → -12
여기서 다른 풀이법을 추가하지 않고, 빠졌던 항을 찾는 기준 하나만 고쳤습니다.
항별 기록으로 다시 만든 전개
학생은 같은 문제를 다음 순서로 다시 적었습니다.
(2x-3)(x+4)
=2x·x+2x·4+(-3)·x+(-3)·4
=2x²+8x-3x-12
=2x²+5x-12
처음에 맞게 계산했던 2x²와 -12는 그대로 두고, 빠졌던 두 연결만 보완했습니다. 마지막 정리는 같은 문자와 차수의 항인 8x와 -3x를 묶어 5x로 바꾼 것입니다. 핵심은 전개식을 외운 순서가 아니라, 두 괄호의 항들이 빠짐없이 만났다는 기록입니다.
모양이 달라진 새 식에서 기준 고르기
며칠 뒤 대봉동중3수학과외 시간에는 괄호의 모양과 부호를 바꾼 문제를 제시했습니다.
(3a+2b)(-a-5b)를 전개하시오.
이번에는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문자가 두 종류이고, 둘째 괄호의 항들이 모두 음수인 형태였습니다. 학생은 먼저 첫 괄호의 3a, 2b와 둘째 괄호의 -a, -5b를 각각 표시한 뒤 네 개의 곱을 적었습니다.
3a·(-a)=-3a²
3a·(-5b)=-15ab
2b·(-a)=-2ab
2b·(-5b)=-10b²
따라서
(3a+2b)(-a-5b)=-3a²-15ab-2ab-10b²
=-3a²-17ab-10b²
가 됩니다. 학생은 부호가 복잡해 보여도 먼저 모든 항의 연결을 만들고, 그다음 각 곱의 부호를 정했습니다. 이 장면에서 새로 배운 다른 단원을 끌어오지 않고, 다항식 곱셈의 항 연결 기준만 독립적으로 적용했습니다.
힌트 없이 확인한 마지막 답안
마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.
직사각형 모양으로 배열된 식의 가로가 (y-6), 세로가 (2y+1)일 때, 넓이를 전개하여 나타내시오.
학생은 그림을 보자마자 한 항만 곱하지 않고, 네 연결을 먼저 적었습니다.
(y-6)(2y+1)
=y·2y+y·1+(-6)·2y+(-6)·1
=2y²+y-12y-6
=2y²-11y-6
이어 힌트 없이 y=2를 대입해 전개 전 식과 전개 후 식을 비교했습니다.
(2-6)(2·2+1)=(-4)·5=-20
2·2²-11·2-6=8-22-6=-20
학생은 “전개 전에도 -20이고 전개 후에도 -20이므로 네 항을 빠짐없이 연결한 결과가 유지된다”고 설명했습니다. 대봉동 생활권에서 중3수학을 공부할 때도 이처럼 계산 전에 연결 대상을 한 줄로 확인하면, 빠진 항 때문에 답 전체가 틀어지는 일을 스스로 찾아낼 수 있습니다.