대봉동 고3수학과외
주기만 맞추고 멈추지 않은 삼각함수 풀이
대봉동 생활권의 학습 상담에서 고3 학생이 삼각함수의 주기를 묻는 기출 변형을 풀었다. 경북대학교사범대학부설고등학교 인근에서 자주 접하는 유형이라는 식으로 일반화하지 않고, 눈앞의 조건을 어떻게 읽는지에 초점을 맞췄다. 학생이 참고한 대봉동고3수학과외 풀이 기록에는 계산 과정이 아니라 조건 표시가 먼저 남아 있었다.
함수 f(x)=sin((m-1)x+π/3)의 주기가 π/2이고, m은 양의 정수일 때 m의 값을 구하여라.
주기 공식보다 먼저 확인할 것
학생은 곧바로 2π/|m-1|=π/2를 세워 |m-1|=4를 얻었다. 여기까지는 정확했다. 이어 m=5 또는 m=-3이라고 적었지만, 두 후보를 그대로 답안에 남겼다. 최초의 어긋남은 절댓값 계산이 아니라, 문제의 ‘양의 정수’라는 제한을 첫 줄에서 식별하지 않은 데 있었다. 계산 전에 조건을 골라 표시하지 않았으므로 허용되지 않는 m=-3까지 같은 자격의 후보처럼 다룬 것이다.
학생에게 다른 공식을 추가로 외우게 하지 않고, 풀이 첫 줄 왼쪽에 조건: m∈{1,2,3,…}라고만 적게 했다. 그다음 주기 식은 그대로 두고 두 후보를 조건 옆에서 대조했다.
- |m-1|=4에서 나온 후보: m=5, -3
- 양의 정수 조건과 대조: 5는 허용, -3은 제외
또한 m=1이면 계수 m-1이 0이 되어 함수가 상수함수가 되고, 주기가 π/2인 일반적인 주기 함수로 볼 수 없다는 점도 짚었다. 이 값은 이번 식에서 후보로 나오지는 않지만, 계수의 범위를 무심코 다루지 않도록 확인한 부분이다. 대봉동과외에서 이 유형을 지도할 때도 주기 공식 자체보다 계수의 허용 범위를 먼저 읽게 하는 이유가 여기에 있다.
조건의 위치를 바꾼 변형
같은 숫자만 바꾸지 않고 문제의 제시 순서를 바꾸었다.
양의 정수 m에 대하여 f(x)=cos((m+2)x-π/4)의 주기가 2π/5일 때 m을 구하여라. 단, 주기는 양의 최소주기로 한다.
이번에는 ‘양의 정수’가 문장 앞에 놓여 있었지만 학생은 해설을 가린 채 먼저 조건을 네모로 표시했다. 코사인도 주기 공식이 2π/|m+2|라는 함수 관계를 적용해야 하므로,
2π/|m+2|=2π/5 → |m+2|=5 → m=3 또는 -7
이라고 계산했다. 이어 m이 양의 정수이므로 m=3만 남겼다. 첫 문제의 답을 기억해서 숫자만 대입한 것이 아니라, 절댓값 때문에 생긴 두 후보를 만든 뒤 조건으로 제거하는 순서를 다시 구성한 것이다. 특히 주기를 π/2로 착각하거나 위상 이동량 -π/4를 주기에 포함하지 않고, x의 계수 m+2만 주기에 영향을 준다는 점도 식 옆에 짧게 적었다.
경계값이 답을 바꾸는 순간
마지막 변형에서는 조건을 m은 0 이상인 정수로 바꾸고, 함수는 sin((m-1)x), 주기는 π/2로 제시했다.
2π/|m-1|=π/2에서 m=5 또는 -3을 얻은 뒤, 학생은 이번에는 0 이상이라는 경계를 확인했다. -3은 여전히 탈락하고 5만 남는다. 반대로 조건을 ‘m은 -3 이상인 정수’로 바꾸면 m=-3도 경계에서 포함된다. 학생은 이 값을 임의로 버리지 않고, 실제로 m=-3일 때 계수는 -4이며 sin(-4x)의 최소 양의 주기는 2π/4=π/2라고 원식에 대입해 확인했다.
해설 없는 재풀이에서 학생은 먼저 문제의 제한조건을 표시하고, 계수의 절댓값으로 주기식을 세운 뒤, 양쪽 후보를 조건에 대입해 하나씩 남겼다. 마지막에는 “후보를 만든 뒤 조건으로 거른다”는 판단을 스스로 설명했다. 주기 계산만 맞힌 것이 아니라, 조건이 문장 앞뒤 어디에 놓이거나 경계값이 포함되더라도 같은 첫 행동과 검산 순서를 유지한 것이다.