복현동 중등수학과외

복현동중등수학과외, 두 변 4·5와 사이각 60°로 합동을 확인하는 방법

삼각형의 합동에서는 길이 표시가 두 개 보인다고 바로 “두 삼각형은 합동”이라고 결론 내리기 쉽습니다. 그러나 두 삼각형에 각각 길이 4, 5인 두 변과 그 사이각 60°가 주어진 경우, 답을 결정하는 조건은 길이 4와 5만이 아니라 그 두 변이 만나는 각 60°입니다. 복현동중등수학과외 수업에서 이 단원을 다룰 때는 맞고 틀림만 확인하기보다, 학생이 풀이의 어느 줄에서 ‘두 변이 같다’는 사실을 ‘모양까지 하나로 정해진다’는 판단으로 바꾸었는지 살펴보는 것이 중요합니다.

두 변 사이의 60°가 왜 필요한가

기본 문제에서는 한 삼각형의 두 변 길이가 4, 5이고 그 사이각이 60°이며, 다른 삼각형도 대응하는 두 변 길이가 4, 5이고 그 사이각이 60°입니다. 먼저 꼭짓점의 대응을 같은 색으로 표시해 길이 4인 변끼리, 길이 5인 변끼리 맞춥니다. 이어 두 표시된 변이 공통으로 만나는 꼭짓점에 60°를 표시합니다. 이 각은 두 변의 끝에 따로 붙은 각이 아니라 바로 두 변 사이의 각입니다. 따라서 ‘두 변과 그 사이각’이 각각 같으므로 SAS 합동 조건을 만족하고, 두 삼각형은 합동입니다.

여기서 60°는 장식처럼 덧붙은 정보가 아닙니다. 길이 4인 선분 하나와 길이 5인 선분 하나를 한 점에서 연결한 뒤, 벌어진 정도를 60°로 정해야 세 번째 꼭짓점의 위치가 정해집니다. 학생이 “두 변의 길이가 같으니 합동”이라고 썼다면, 길이 4와 5 아래에는 대응 표시를 남기고 60°가 어느 두 변 사이에 놓이는지 화살표로 연결해 보게 합니다. “주어진 각은 두 변 사이의 각인가요?”라는 짧은 질문에 표시와 함께 답할 수 있어야 SAS라는 이름도 문제의 조건과 연결됩니다.

두 변만으로 모양을 확정할 수 없는 이유

비교 문제에서는 사이각 60°를 삭제하고 길이 4, 5인 두 변만 남깁니다. 이때도 같은 두 길이를 사용한다는 점은 유지되지만, 두 변이 벌어지는 각은 정해져 있지 않습니다. 예를 들어 한 삼각형은 두 변 사이각을 60°로 만들 수 있고, 다른 삼각형은 80°처럼 다른 각으로 만들 수 있습니다. 두 변의 길이는 모두 4와 5여도 세 번째 꼭짓점의 위치와 세 번째 변의 길이가 달라져 서로 포개어지지 않을 수 있습니다. 그러므로 이 문제의 답은 ‘합동을 확정할 수 없음’입니다.

이 비교는 공식을 외웠는지보다 조건을 읽는 순서를 확인하게 합니다. 각도 조건을 지운 뒤에도 SAS라고 적었다면, 학생이 사용한 두 줄을 나란히 놓고 60° 표시가 사라진 위치를 찾습니다. 반대로 “각이 없어서 확정할 수 없다”라고만 쓰기보다, 사이각을 다르게 한 삼각형을 만들 수 있다는 이유까지 적어야 판단의 근거가 분명해집니다. 복현동중등수학과외에서도 비교 문제의 정답을 먼저 알려 주기보다, 독립적으로 조건을 표시한 뒤 풀이 기록으로 판단 근거를 확인하는 흐름이 필요합니다.

수정한 풀이를 다음 문제에서 확인하는 방법

교정 뒤에는 기본 문제에서 ‘4, 5, 그 사이각 60° → SAS 합동’으로 조건과 결론을 한 줄에 연결해 쓰게 합니다. 비교 문제에서는 ‘4, 5만 주어짐 → 사이각을 다르게 만들 수 있음 → 합동 확정 불가’로 씁니다. 두 풀이를 비교하면 사라진 정보가 60°이고, 그 정보가 모양을 하나로 정하는 역할을 했다는 점이 드러납니다. 검산도 계산 결과를 다시 더하는 방식이 아니라, 각 과제에 실제로 주어진 조건을 대조하는 방식으로 합니다. 기본 문제에는 두 변과 그 사이각이 모두 있는지, 비교 문제에는 사이각의 크기가 제시되지 않았는지를 확인합니다.

다음 단계에서는 도움 없이 “주어진 각은 두 변 사이의 각인가요?”와 “각도 조건을 없애고 두 변만 남겨도 모양이 정해지나요?”에 각각 근거를 붙여 답하게 합니다. 두 변의 길이만 보고 다시 합동이라고 판단한다면 수정 전 문장을 지우기보다 남겨 두고, 어떤 조건이 빠졌는지 표시하게 합니다. 반대로 사이각의 역할과 서로 다른 모양의 가능성을 식이나 그림으로 설명한다면, 이후에는 다른 합동 조건에서도 대응하는 변·각이 실제로 무엇을 정하는지 같은 방식으로 확인해 볼 수 있습니다.