복현동 중1수학과외

약수의 개수를 세는 과정에서 드러난 한 줄의 오류

복현동과외 수업에서 학생은 성광중학교가 포함된 생활권의 중1수학 문제를 풀다가 약수의 개수를 묻는 문제에서 멈췄다. 문제는 72를 소인수의 곱으로 나타낸 뒤, 72의 약수가 모두 몇 개인지 구하는 것이었다. 대구태전휴먼시아1단지와 꿈꾸는도서관 인근 생활권에서 자주 접할 수 있는 수의 계산 상황과도 연결해 볼 수 있지만, 이번 풀이의 중심은 끝까지 약수의 개수 판단이었다.

답이 틀어지기 시작한 지점

학생은 공책에 먼저 72=2×2×2×3×3이라고 적었다. 여기까지의 곱은 정확했다. 이어서 “2는 세 번, 3은 두 번 있으므로 약수는 3+2=5개”라고 썼다. 실제로 약수 몇 개를 써 보지도 않고, 소인수의 등장 횟수만 더해 약수의 개수라고 판단한 것이 최초의 오류였다. 뒤에서 곱셈을 다시 하거나 수를 대입한 것이 문제가 아니라, 각 소인수를 약수에 포함할지 말지 선택하는 경우를 세지 않은 채 계산을 시작한 점이 핵심이었다.

약수는 소인수를 몇 번 적었는지가 아니라, 각 소인수를 0번부터 최대 몇 번까지 사용할 수 있는지를 조합해 만든다.

잘못된 판단을 한 줄씩 되돌리기

학생이 적어 둔 소인수분해는 그대로 두고, 그 옆에 2의 지수를 3, 3의 지수를 2라고 표시했다. 2로 만들 수 있는 부분은 1, 2, 2², 2³이므로 네 가지이고, 3으로 만들 수 있는 부분은 1, 3, 3²이므로 세 가지라고 확인했다. 따라서 약수는 4×3=12개라고 고쳤다.

교정이 맞는지 확인하기 위해 약수를 곱셈 형태로 다시 묶었다. 1, 2, 4, 8에 각각 1, 3, 9를 곱하면 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72가 된다. 모두 72를 나누어떨어지게 하며 빠진 수가 없는지 살폈다. 처음의 5라는 답은 이 목록의 길이와 맞지 않았고, 12라는 수정된 답은 목록과 일치했다.

표가 아닌 곱셈식으로 바꾸어 적용하기

다음 문제에서는 약수의 개수를 바로 묻지 않았다. “어떤 자연수를 소인수의 곱으로 나타내면 2×2×2×5×5×5×5이다. 이 수의 약수 중 10의 배수는 몇 개인가?”라는 식으로 조건과 질문의 방향을 바꾸었다. 학생은 먼저 해당 수가 2³×5⁴임을 표시하고, 약수가 되려면 2와 5를 각각 한 번 이상 포함해야 한다고 문장으로 적었다.

2의 지수는 1, 2, 3 중 세 가지, 5의 지수는 1, 2, 3, 4 중 네 가지이므로 10의 배수인 약수는 3×4=12개라고 계산했다. 이번에는 1을 포함하는 후보나 2 또는 5가 빠진 후보를 조건에 맞지 않는다고 구분했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 전체 약수의 개수가 아니라 특정 조건을 만족하는 약수만 골라야 하는 상황에서도 지수의 범위를 먼저 정하는지 확인한 것이다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

수업 후 학생에게 “84의 약수는 몇 개인가?”를 풀이 과정만으로 다시 설명하게 했다. 학생은 바로 84=2²×3×7이라고 쓰고, “2의 지수는 0, 1, 2로 세 가지, 3의 지수는 0, 1로 두 가지, 7의 지수도 0, 1로 두 가지이다. 각 선택을 하나씩 조합하므로 약수의 개수는 3×2×2=12개”라고 말했다.

그다음 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84를 직접 적어 12개인지 확인했다. 각 수를 84의 곱셈으로 되돌려 보며 1×84, 2×42, 3×28처럼 짝을 이루는 것도 점검했다. 학생은 더 이상 소인수의 횟수를 단순히 더하지 않고, 각 지수의 선택 범위를 세운 뒤 곱해야 하는 이유와 원래 수로 돌아가 확인하는 근거까지 스스로 설명했다. 이 과정을 바탕으로 복현동중1수학과외에서도 약수 문제를 보기 없이 독립적으로 재현할 수 있는지 확인했다.