복현동 중3수학과외

복현동 중3수학과외에서 확인한 √(a²)의 부호

복현동과외 수업에서 새 유형을 풀던 중, 학생은 완성된 풀이를 앞에서부터 따라가지 않고 마지막 답에서 거꾸로 오류를 찾았습니다. 문제는 다음과 같았습니다.

조건을 만족하는 실수 a에 대하여 √(a²)의 값을 구하여라. 단, a=-3이다.

학생이 공책에 적은 풀이는 이러했습니다.

(-3)²=9, 따라서 √((-3)²)=√9=-3

계산 과정에서 3²=9를 구한 부분과 √9를 3으로 생각해야 한다는 부분이 서로 맞지 않았습니다. 하지만 수업에서는 마지막 계산 실수부터 고치지 않고, 답이 달라지기 시작한 최초의 판단을 뒤에서부터 확인했습니다.

답이 틀어지기 전, 어느 줄에서 갈라졌을까

먼저 식의 모양을 그대로 읽었습니다. √(a²)는 ‘a²의 제곱근 중 하나’를 임의로 고르는 식이 아니라, 제곱해서 a²가 되는 0 이상인 제곱근을 뜻합니다. 따라서 a=-3을 대입하면 a²=9이고, √(a²)=√9=3이어야 합니다.

학생은 a=-3이라는 조건을 읽고도 √(a²)의 값을 a와 같다고 처리했습니다. 즉,

a가 음수인 경우에도 √(a²)=a

라고 판단한 것이 최초 오류였습니다. 그 뒤에 나온 -3이라는 답은 단순한 계산 실수의 결과가 아니라, 제곱근의 부호를 처음 선택한 순간부터 이미 정해진 오류였습니다. 제곱하면 (-3)²과 3²은 모두 9가 되지만, √9의 값은 음수가 될 수 없다는 점이 기준입니다.

풀이를 전부 다시 쓰지 않고 바꾼 한 가지

이때 전체 풀이를 지우고 새 방법을 여러 개 익히게 하지 않았습니다. 최초 오류와 직접 연결된 행동 하나만 바꾸었습니다. √(a²)를 보면 바로 a를 옮겨 쓰지 않고, 먼저 a의 부호를 확인한 뒤 √(a²)=|a|로 판단하도록 했습니다.

• a가 양수 또는 0이면 √(a²)=a
• a가 음수이면 √(a²)=-a

따라서 이번 문제에서는 a=-3이므로 √(a²)=|a|=3입니다. 이미 맞게 계산한 (-3)²=9는 그대로 두고, 제곱근의 결과를 고르는 앞부분만 수정했습니다. 마지막에는 3²=9이고 제곱근의 값 3은 0 이상이므로 원래 식의 조건에도 맞습니다.

표현을 바꾼 새 문제에 적용하기

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 식 대신, 부호 조건이 문장 속에 들어간 문제를 제시했습니다.

실수 x가 x<0을 만족할 때, 다음 빈칸에 들어갈 식을 쓰고 이유를 말하여라.
√(x²)= ______

학생은 x가 음수라는 조건을 먼저 표시한 뒤, 빈칸에 -x를 적었습니다. “x가 음수이면 -x는 0 이상이고, (-x)²=x²이므로 √(x²)는 -x이다”라고 설명했습니다. 이번에는 숫자를 대입해 끝내지 않고, 조건의 위치가 앞에 제시된 경우에도 같은 부호 기준을 선택했습니다.

또 다른 표현으로는 다음 표의 일부를 채우게 했습니다.

• p=5일 때 √(p²)=?
• q=-7일 때 √(q²)=?
• r=0일 때 √(r²)=?

학생은 각각 5, 7, 0을 적었습니다. 세 결과를 원래 수와 비교해 무조건 같다고 하지 않고, 음수인 q의 경우에는 부호가 바뀐다는 점을 따로 설명했습니다. 이 활동에서도 동류근이나 근삿값으로 범위를 넓히지 않고, √(a²)의 값에서 부호를 결정하는 기준만 확인했습니다.

힌트 없이 다시 확인한 마지막 장면

마지막에는 풀이 중간을 가리지 않고, 다음 문제를 처음부터 혼자 해결하게 했습니다.

어떤 실수 t에 대하여 t<0이다. √(t²)의 값을 t를 사용한 식으로 나타내고, t=-12일 때의 값도 구하여라.

학생은 먼저 “t가 음수이므로 제곱근의 값은 음수가 될 수 없다”고 적었습니다. 이어서 √(t²)=-t라고 쓰고, t=-12를 대입하여 -(-12)=12를 얻었습니다. 검산에서는 12²=144이고 (-12)²=144이므로 제곱한 결과가 같으며, 최종값 12가 0 이상이라는 점까지 확인했습니다.

복현동중3수학과외에서는 이렇게 정답만 맞혔는지를 보지 않고, √(a²)를 만났을 때 원래 수의 부호를 먼저 확인했는지 살핍니다.