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이천동 중3수학과외

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이천동 중3수학과외에서 확인한 근호 안의 완전제곱

이천동과외 수업에서 교과서의 제곱근 단원을 풀던 중, 한 학생이 다음 식을 보고 풀이를 시작했습니다.

√180 = √(9×20) = 9√20

계산 결과만 보면 중간에 익숙한 숫자를 사용한 듯했지만, 마지막 식을 다시 제곱하면 원래 수와 맞지 않았습니다. 이천주공1단지와 꿈꾸는도서관이 있는 생활권에서 중3수학과외를 진행할 때도 자주 확인되는 장면입니다. 이번에는 여러 제곱근 성질을 넓게 다루지 않고, 근호 안에서 완전제곱인 인수를 찾아 꺼내는 판단 하나만 살펴보았습니다. 대구중학교가 포함된 생활권에서 문제를 접하더라도 핵심은 같은 기준으로 제한했습니다.

풀이 기록에서 먼저 멈춘 지점

학생은 문제에 유형명이 적혀 있지 않자 √180을 바로 계산하려고 했습니다. 먼저 180을 9와 20으로 나눈 뒤, 9가 3의 제곱이라는 사실을 떠올렸습니다. 그러나 식을

√(9×20) = 9√20

으로 적었습니다. 여기서 처음 어긋난 판단은 완전제곱인 9를 근호 밖으로 옮길 때 그 값인 3이 아니라 9를 그대로 옮긴 것입니다. 뒤의 √20을 다시 정리하지 않은 것은 그다음 문제였지만, 결과가 틀어지기 시작한 최초의 지점은 ‘밖으로 나올 수’와 ‘밖으로 나오는 수’를 구분하지 않은 순간이었습니다.

학생이 예제에서 보았던 순서를 기억해 4, 9, 16 같은 제곱수를 찾은 것은 출발점으로 괜찮았습니다. 다만 피근수 전체에서 완전제곱인 인수를 찾은 뒤에는 그 인수의 제곱근을 써야 합니다. 따라서 180을

180 = 36×5 = 6²×5

로 다시 배열하면, 완전제곱인 부분은 36이고 근호 밖으로 나오는 수는 36 자체가 아니라 √36=6입니다.

한 줄 기준으로 풀이를 바로잡다

교정은 한 가지 행동만 바꾸었습니다. 학생에게 새로운 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 피근수를 먼저 인수분해한 뒤 완전제곱 인수의 제곱근만 밖으로 쓴다는 기준을 식 옆에 적게 했습니다.

따라서 학생은 이미 찾았던 36×5를 그대로 사용해 다음처럼 고쳤습니다.

√180 = √(36×5)
= √36×√5
= 6√5

이때 5는 완전제곱인 인수가 아니므로 안에 남겼습니다. 처음 풀이에서 했던 180의 분해를 버리지 않고, 밖으로 옮기는 수만 9에서 6으로 수정한 것입니다. 다시 6√5를 제곱해 보면 6²×5=36×5=180이므로, 근호 밖으로 나온 수가 피근수의 완전제곱 인수에서 제대로 나왔는지 확인할 수 있습니다.

모양을 바꾼 문제에서 같은 선택하기

다음 시간에는 단순히 숫자만 바꾼 문제 대신, 식의 배열을 다르게 제시했습니다.

√(8×18)을 가장 간단한 꼴로 나타내시오.

학생은 처음에 8과 18 중 어느 수를 먼저 계산할지 고민했지만, 질문을 다시 읽고 피근수 전체에서 완전제곱인 인수를 찾았습니다. 8×18을 곱해 144로 만든 뒤 √144라고 쓰는 대신, 곱의 모양을 유지하면서

8×18 = 4×2×9×2 = 36×4

로 정리했습니다. 여기서 36과 4는 모두 완전제곱이므로 하나의 완전제곱 인수로 묶어 144=12²로 볼 수 있습니다. 그러나 학생은 밖으로 나오는 수를 확인하는 연습을 위해

√(8×18) = √144 = 12

라고 마무리했습니다. 이 문제에서는 이전 문제의 180이나 36×5를 그대로 흉내 내지 않고, 곱의 배열을 바꾼 뒤 완전제곱인 인수를 스스로 선택했습니다. 다른 단원의 공식이나 근삿값은 사용하지 않았습니다.

힌트가 사라진 뒤 남은 검산

일주일 뒤에는 아무 표시도 없는 문제를 제시했습니다.

√252를 근호 밖의 수가 보이도록 간단히 나타내고, 결과를 검산하시오.

학생은 먼저 252를 36×7로 분해했습니다. 이어서 36이 6²임을 적고, 7은 완전제곱 인수가 아니므로 안에 남겼습니다.

252 = 36×7 = 6²×7
√252 = 6√7

이번에는 별도의 질문 없이도 “밖으로 나오는 수는 완전제곱 인수의 제곱근이어야 하므로 6”이라고 설명했습니다. 마지막으로 결과를 제곱하여

(6√7)²에 해당하는 곱은 36×7=252

라고 대조했습니다. 이천동중3수학과외에서 확인하고 싶었던 변화는 문제를 맞힌 사실보다, 피근수를 분해하고 완전제곱인 부분만 골라 그 제곱근을 밖으로 옮기는 기준을 새 문제에서도 혼자 선택했다는 점입니다.

이천동 중3수학과외 학부모 후기

친구와 같이 공부하고 돌아온 날, 책이랑 프린트를 치우다가 아이가 답지를 펼치지 않고 자기 계산을 거꾸로 살펴보는 걸 보게 됐어요. 한 줄씩 어디서 달라졌는지 따라가듯 확인하고 있더라고요. 전에는 풀이할 때 근거를 따로 적어두지 않아서 나중에 다시 보려 해도 무엇을 기준으로 했는지 찾기 어려웠거든요. 이천동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 저는 이런 작은 장면이 꽤 눈에 띄었어요. 답을 맞혔는지 바로 확인하기보다, 자신이 적어둔 계산부터 훑는 모습이 전과는 달랐습니다. 학교 수행평가 준비를 다시 꺼낸 날에도 해설부터 찾지 않았어요. 앞에서 적은 계산을 처음 줄부터 다시 짚어 보고, 이어서 볼 부분을 정해 둔 뒤 그 자리에서 멈추더라고요.

★★★★★학부모 후기

빈칸 문제를 풀다가 해설과 자기 풀이가 처음 달라지는 한 줄에서 손을 멈추더라고요. 그 부분만 다시 살펴본 뒤 다른 내용까지 계속 넓혀 보지는 않았어요. 예전에는 공부를 끝내도 나중에 확인할 흔적을 따로 남기지 않던 아이라서, 그 장면이 조금 새롭게 보이더라고요. 이천동 수학과외 이야기를 나누던 때라 시험지를 파일에 넣어 두었는데, 그날 우연히 아이가 해설지와 자기 풀이를 나란히 펼쳐 놓은 모습을 보게 됐어요. 전체 답을 한꺼번에 맞춰 보는 게 아니라 처음 어긋난 한 줄만 골라 비교하고 있었습니다. 파일을 정리하는 손길보다 그 한 줄을 다시 들여다보는 시간이 더 길었어요.

★★★★★학부모 후기

이천동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 저녁마다 숙제를 펼쳐 놓고도 답이 맞는지 몇 번씩 확인하던 아이 모습이 조금씩 달라졌습니다. 수업 전부터 긴장하던 아이에게 선생님은 모르는 문제를 편하게 말하도록 천천히 질문을 이어 가며 기다려 주셨고, 막힌 부분을 억지로 넘기지 않았습니다. 요즘은 틀릴까 눈치 보기보다 스스로 질문하며 숙제를 마무리하는 모습이 가장 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

이천동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 숙제를 끝내는 데만 매달리기보다, 시험이 끝난 날에는 어떤 부분에서 막혔는지 스스로 돌아보게 됐습니다. 난도가 높아진 단원에서도 선생님은 답을 바로 알려주지 않고 생각을 정리할 기준만 차분히 제시했으며, 힘들어하면 문제를 나누어 진행해 부담을 줄여 주셨습니다. 시험기간에도 크게 흔들리지 않고 해야 할 일을 받아들이는 모습이 보여 성적보다 과정의 변화가 더 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

이천동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 저는 틀린 문제를 표시해 두고 다시 보는 일은 미루곤 했습니다. 선생님은 질문할 문제를 같이 확인하며 편하게 말할 수 있는 분위기를 만들어 주셨고, 지난주 오답도 수업 중 자연스럽게 다시 풀게 하셨습니다. 시험 전에는 부족한 부분을 먼저 복습해 주셔서 틀린 뒤에도 금방 다시 이어가는 습관이 조금씩 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기