이천동 중3수학과외

이천동 중3수학과외에서 확인한 근호 안의 완전제곱

이천동과외 수업에서 교과서의 제곱근 단원을 풀던 중, 한 학생이 다음 식을 보고 풀이를 시작했습니다.

√180 = √(9×20) = 9√20

계산 결과만 보면 중간에 익숙한 숫자를 사용한 듯했지만, 마지막 식을 다시 제곱하면 원래 수와 맞지 않았습니다. 이번에는 여러 제곱근 성질을 넓게 다루지 않고, 근호 안에서 완전제곱인 인수를 찾아 꺼내는 판단 하나만 살펴보았습니다.

풀이 기록에서 먼저 멈춘 지점

학생은 문제에 유형명이 적혀 있지 않자 √180을 바로 계산하려고 했습니다. 먼저 180을 9와 20으로 나눈 뒤, 9가 3의 제곱이라는 사실을 떠올렸습니다. 그러나 식을

√(9×20) = 9√20

으로 적었습니다. 여기서 처음 어긋난 판단은 완전제곱인 9를 근호 밖으로 옮길 때 그 값인 3이 아니라 9를 그대로 옮긴 것입니다. 뒤의 √20을 다시 정리하지 않은 것은 그다음 문제였지만, 결과가 틀어지기 시작한 최초의 지점은 ‘밖으로 나올 수’와 ‘밖으로 나오는 수’를 구분하지 않은 순간이었습니다.

학생이 예제에서 보았던 순서를 기억해 4, 9, 16 같은 제곱수를 찾은 것은 출발점으로 괜찮았습니다. 다만 피근수 전체에서 완전제곱인 인수를 찾은 뒤에는 그 인수의 제곱근을 써야 합니다. 따라서 180을

180 = 36×5 = 6²×5

로 다시 배열하면, 완전제곱인 부분은 36이고 근호 밖으로 나오는 수는 36 자체가 아니라 √36=6입니다.

한 줄 기준으로 풀이를 바로잡다

교정은 한 가지 행동만 바꾸었습니다. 학생에게 새로운 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 피근수를 먼저 인수분해한 뒤 완전제곱 인수의 제곱근만 밖으로 쓴다는 기준을 식 옆에 적게 했습니다.

따라서 학생은 이미 찾았던 36×5를 그대로 사용해 다음처럼 고쳤습니다.

√180 = √(36×5)
= √36×√5
= 6√5

이때 5는 완전제곱인 인수가 아니므로 안에 남겼습니다. 처음 풀이에서 했던 180의 분해를 버리지 않고, 밖으로 옮기는 수만 9에서 6으로 수정한 것입니다. 다시 6√5를 제곱해 보면 6²×5=36×5=180이므로, 근호 밖으로 나온 수가 피근수의 완전제곱 인수에서 제대로 나왔는지 확인할 수 있습니다.

모양을 바꾼 문제에서 같은 선택하기

다음 시간에는 단순히 숫자만 바꾼 문제 대신, 식의 배열을 다르게 제시했습니다.

√(8×18)을 가장 간단한 꼴로 나타내시오.

학생은 처음에 8과 18 중 어느 수를 먼저 계산할지 고민했지만, 질문을 다시 읽고 피근수 전체에서 완전제곱인 인수를 찾았습니다. 8×18을 곱해 144로 만든 뒤 √144라고 쓰는 대신, 곱의 모양을 유지하면서

8×18 = 4×2×9×2 = 36×4

로 정리했습니다. 여기서 36과 4는 모두 완전제곱이므로 하나의 완전제곱 인수로 묶어 144=12²로 볼 수 있습니다. 그러나 학생은 밖으로 나오는 수를 확인하는 연습을 위해

√(8×18) = √144 = 12

라고 마무리했습니다. 이 문제에서는 이전 문제의 180이나 36×5를 그대로 흉내 내지 않고, 곱의 배열을 바꾼 뒤 완전제곱인 인수를 스스로 선택했습니다. 다른 단원의 공식이나 근삿값은 사용하지 않았습니다.

힌트가 사라진 뒤 남은 검산

일주일 뒤에는 아무 표시도 없는 문제를 제시했습니다.

√252를 근호 밖의 수가 보이도록 간단히 나타내고, 결과를 검산하시오.

학생은 먼저 252를 36×7로 분해했습니다. 이어서 36이 6²임을 적고, 7은 완전제곱 인수가 아니므로 안에 남겼습니다.

252 = 36×7 = 6²×7
√252 = 6√7

이번에는 별도의 질문 없이도 “밖으로 나오는 수는 완전제곱 인수의 제곱근이어야 하므로 6”이라고 설명했습니다. 마지막으로 결과를 제곱하여

(6√7)²에 해당하는 곱은 36×7=252

라고 대조했습니다. 이천동중3수학과외에서 확인하고 싶었던 변화는 문제를 맞힌 사실보다, 피근수를 분해하고 완전제곱인 부분만 골라 그 제곱근을 밖으로 옮기는 기준을 새 문제에서도 혼자 선택했다는 점입니다.