이천동 중1수학과외
인수와 지수로 최대공약수를 구성한 풀이 기록
이천동과외 수업에서 중1 학생과 최대공약수 문제를 살펴보던 중, 단순히 답을 맞히는 것보다 어떤 인수를 남겨야 하는지 확인하는 과정이 중요하게 드러났다. 대구중학교가 포함된 생활권과 교대역푸르지오트레힐즈 인근 생활권에서 자주 접할 수 있는 서술형 문제를 참고해, 다음 문제를 풀이했다.
84와 126의 최대공약수를 소인수분해를 이용하여 구하고, 그 이유를 설명하여라.
답보다 먼저 확인해야 했던 한 줄
학생은 교과서 예제의 순서를 떠올리며 곧바로
84=2×2×3×7, 126=2×3×3×7
이라고 적었다. 여기까지의 인수분해는 맞았다. 그러나 다음 줄에 두 수에 공통으로 들어 있는 인수를 모두 한 번씩 고르는 대신, 84의 인수를 먼저 묶어 2×2×3×7을 그대로 최대공약수라고 썼다. 계산을 시작하기 전에 ‘공통인수 중에서 몇 개까지 사용할 수 있는가’를 확인하지 않고 예제의 배열을 기억해 적용한 것이 첫 번째 어긋남이었다.
학생의 답을 바로 지우지는 않고, 두 수의 인수를 나란히 다시 적게 했다.
- 84: 2×2×3×7
- 126: 2×3×3×7
그다음 같은 인수를 세로선으로 표시했다. 2는 두 수에 한 개씩, 3도 한 개씩, 7도 한 개씩 공통으로 나타난다. 84에 2가 두 개 있다고 해서 126에 없는 두 번째 2까지 사용할 수는 없다. 따라서 공통으로 고른 인수는 2×3×7이고, 이를 계산하면 최대공약수는 42이다.
인수분해를 지수로 바꾸어 확인하기
같은 풀이를 다른 모양으로 정리하면서 학생은 인수의 개수도 함께 읽었다.
84=2²×3×7
126=2×3²×7
여기서 각 소인수에 붙은 지수를 비교했다. 2는 1과 2 중 작은 지수인 1을, 3은 2와 1 중 작은 지수인 1을, 7은 1과 1 중 작은 지수인 1을 선택한다. 그러므로
최대공약수=2¹×3¹×7¹=42
처음 틀린 식에서 유지할 부분은 두 수를 소인수분해한 과정이고, 고쳐야 할 부분은 한 수의 인수를 통째로 가져온 판단 하나였다. 이 기준을 세운 뒤에는 인수의 종류와 개수를 각각 비교할 수 있었다.
표현이 달라진 문제에 다시 적용하기
다음에는 숫자를 그대로 바꾸지 않고, 곱셈 형태가 서로 다르게 제시된 문제를 풀었다.
한 수가 2×2×3×5로, 다른 수가 2×3×3×5×5로 나타나 있다. 두 수의 최대공약수를 소인수와 지수로 나타내어라.
학생은 바로 계산하지 않고 먼저 각 소인수의 출현 횟수를 표로 만들었다.
- 2: 첫 번째 수 2개, 두 번째 수 1개
- 3: 첫 번째 수 1개, 두 번째 수 2개
- 5: 첫 번째 수 1개, 두 번째 수 2개
각 행에서 더 큰 개수가 아니라 두 수에 함께 들어갈 수 있는 작은 개수를 골라 2¹×3¹×5¹을 얻었다. 이어 이 곱을 계산해 30으로 정리했다. 이번에는 풀이가 식에서 표로 바뀌었지만, 공통으로 사용할 수 있는 인수의 개수 중 작은 것을 선택한다는 판단은 그대로 유지했다.
학생은 중간에 “5²도 넣을 수 있지 않나?”라고 물었고, 첫 번째 수에는 5가 한 개뿐이라는 표의 행을 다시 가리켰다. 그 결과 5²는 첫 번째 수를 나누어 떨어지게 만들 수 없으므로 후보에서 제외했다. 구한 30을 원래 두 곱에 나누어 보아 첫 번째 수와 두 번째 수 모두에서 나머지가 생기지 않는지도 확인했다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
마지막에는 새로운 서술형 문제를 제시하고 풀이 순서를 알려 주지 않았다.
두 상자에 각각 72개와 108개의 구슬이 있다. 두 수를 소인수분해하여 두 수의 최대공약수를 구하고, 선택한 인수를 곱셈으로 확인하여라.
학생은 먼저
72=2³×3², 108=2²×3³
이라고 적은 뒤, “2와 3이 공통으로 있고, 각각의 지수 중 작은 것을 골라야 한다”고 설명했다. 따라서
2²×3²=4×9=36
으로 답을 정했다. 이어 72와 108을 각각 36으로 나누어 모두 나누어떨어지는지 확인했고, 2의 지수를 하나 더 높이면 72에 2³이 필요하지만 108에는 2가 두 개뿐이며, 3의 지수를 하나 더 높이면 72에 3³이 필요하지 않더라도 108과의 공통 조건을 넘어선다는 점을 말로 설명했다.
마지막 검산에서는 36=2²×3²로 되돌린 뒤 처음 두 수의 인수와 비교했다. 한 수의 인수를 그대로 가져오지 않고, 각 소인수에서 공통으로 확보할 수 있는 가장 작은 지수를 선택했다는 이유까지 스스로 재현했다. 이처럼 이천동중1수학과외에서는 최대공약수를 계산 결과만으로 끝내지 않고, 인수분해와 지수 표현이 어떻게 연결되는지 풀이 안에서 확인한다.