이천동 고등수학과외
이천동 고등수학과외에서는 방정식의 해와 식의 값을 한 문장 안에서 섞어 말하지 않도록 풀이 기록을 세분화한다. 대구고등학교와 협성고등학교 학생을 지도할 때도 단순히 인수분해 결과를 외우게 하기보다, 어느 순간에 ‘0이 되는 x’를 찾고 있는지, 어느 순간에 ‘특정 x에서 식이 얼마인지’를 계산하는지 구별하게 한다. 교대역푸르지오트레힐즈와 꿈꾸는도서관 인근에서 학습하는 학생이라면 익숙한 생활 공간에서 문제를 펼쳐도 풀이의 기준은 식 자체에 두도록 연습한다.
해를 찾는 풀이에서 처음 생긴 혼동
학생에게 다음 방정식을 제시했다.
(x+2)(x-11)=0
학생은 곧바로 x=-2, x=11을 적었다. 여기까지는 맞았지만, 이어진 질문에서 문제가 드러났다. “그럼 x=3일 때 식의 값도 해인가요?”라는 물음에 학생은 부호가 바뀌는 구간을 표시하다가 x=3을 후보처럼 동그라미 쳤다. 그래프가 x축을 가로지르는 지점과 구간 안에서 식의 부호가 정해지는 사실을 한데 묶은 것이다.
풀이 노트에는 ‘-2와 11 사이에서 부호 변화, 따라서 해는 3’이라고 적혀 있었다. 해는 방정식을 참으로 만드는 x인데, x=3에서는 (3+2)(3-11)=5×(-8)=-40이다. 식의 값이 음수라는 정보는 부호 구간을 설명할 뿐, 방정식의 해를 만들어 주지 않는다.
부호표를 해의 근거로 다시 세우기
먼저 두 인수가 0이 되는 기준점을 수직선에 표시했다. x=-2와 x=11을 경계로 나누면 세 구간이 생긴다.
- x<-2: 두 인수가 모두 음수이므로 곱은 양수
- -2<x<11: 첫 인수는 양수, 둘째 인수는 음수이므로 곱은 음수
- x>11: 두 인수가 모두 양수이므로 곱은 양수
학생은 가운데 구간의 음수 표시를 해의 목록으로 옮기려 했다. 이때 부호표 옆에 별도의 문장을 적게 했다. ‘부호표는 구간별 식의 값을 보여 준다. 해는 식의 값이 0인 경계점이다.’ 그 뒤 x=-2를 대입하면 0×(-13)=0, x=11을 대입하면 13×0=0이므로 두 값만 방정식을 만족한다고 확인했다.
부호가 바뀌는 구간과 식이 0이 되는 점은 서로 관련 있지만 같은 대상은 아니다.
조건을 바꾼 문제에서 혼자 판단하기
다음에는 식의 오른쪽 조건을 바꾸었다.
(x+2)(x-11)<0
이번에는 ‘해’를 한두 개의 값으로 찾는 대신 부등식을 만족하는 구간을 찾아야 한다. 학생은 먼저 -2와 11을 기준점으로 잡고, 각 구간에서 임의의 수를 대입했다. x=0이면 2×(-11)=-22이므로 가운데 구간이 조건을 만족한다. 따라서 해는 -2<x<11이다. 양 끝점에서는 식이 0이 되어 ‘0보다 작다’라는 조건에 들어가지 않는다는 점도 함께 적었다.
처음 문제에서 얻은 x=-2, 11을 그대로 답으로 옮기지 않고, 등호의 포함 여부가 달라졌다는 사실에 따라 답의 형태를 바꾼 장면이었다. 이후에는 (x-4)(x+7)≤0으로 조건을 다시 바꾸어, 기준점 -7과 4를 찾고 양 끝점을 포함하는 구간 [-7, 4]를 스스로 작성하게 했다.
답을 적은 뒤 원식으로 확인하기
마지막 검증에서는 부호표를 다시 그리지 않았다. 방정식의 해라고 적은 값만 원식에 넣어 식의 값이 실제로 0인지 확인했다. x=-2와 x=11은 각각 0이 되었지만, 학생이 중간에 후보로 적었던 x=3은 -40이 나왔다. 이 한 번의 재대입으로 ‘부호가 음수인 구간의 수’가 해가 될 수 없다는 점을 스스로 반박했다.
비슷한 방식으로 f(x)=x³-99x에서 f'(9)를 계산할 때도 먼저 미분하면 f'(x)=3x²-99이고, f'(9)=243-99=144가 된다. 여기서 9는 함수의 입력값이지 미분계수의 해가 아니다. 입력값, 식의 값, 방정식의 해를 줄마다 구분해 쓰는 습관이 여러 단원으로 이어진다.
자주 묻는 질문
방정식의 해는 항상 한 개나 두 개인가요?
아니다. 다항식의 차수와 중복근, 조건에 따라 해의 개수는 달라진다. 식을 0으로 만드는 값을 직접 확인해야 한다.
부호표는 언제 사용하나요?
인수의 부호가 구간별로 어떻게 달라지는지 살필 때 유용하다. 부등식의 해를 구할 때 특히 많이 사용하지만, 표시된 구간 전체가 방정식의 해라는 뜻은 아니다.
경계점은 부등식에서 항상 포함되나요?
≤ 또는 ≥이면 포함될 수 있고, < 또는 >이면 제외된다. 원식에 경계점을 대입해 조건을 만족하는지 확인하면 실수를 줄일 수 있다.
답을 구한 뒤에도 대입해야 하나요?
인수분해 과정에서 부호를 잘못 옮겼거나 조건을 잘못 읽었는지 확인할 수 있으므로 대입 검산이 효과적이다.
식의 값과 해를 구분하는 가장 간단한 질문은 무엇인가요?
‘지금 구하는 것이 특정 x에서의 결과인가, 식을 0으로 만드는 x인가?’라고 묻고 풀이 옆에 대상부터 적어 보면 된다.