구지 중3수학과외

구지 중3수학과외에서 살펴본 부호 하나의 선택

구지과외 수업에서는 구지중학교가 포함된 생활권에서 자주 만날 수 있는 중3수학 문제를 풀더라도, 넓은 단원을 한꺼번에 다루지 않고 한 가지 계산 구조만 붙잡습니다. 이번 기준은 (a+b)(a-b)를 전개할 때 항별 곱과 부호를 정확히 확인하는 것입니다.

시간 제한 풀이에 남은 네 줄

제시한 식은 다음과 같았습니다.

(3x+2)(3x-2)를 전개하여 간단히 하시오.

학생은 1분 안에 풀기 위해 먼저 식 옆에 ‘첫째 항: 3x, 둘째 항: 2, 가운데 부호: +와 -’라고 표시했습니다. 하지만 곱을 쓰기 직전, 뒤 괄호의 두 항을 각각 곱해야 한다는 확인 없이 다음처럼 적었습니다.

(3x+2)(3x-2)
=9x²-4x-4
=9x²-4x-4

학생은 첫 곱인 3x×3x=9x²와 마지막 곱인 2×(-2)=-4는 바르게 계산했습니다. 그러나 두 가운데 곱을 하나만 기록해 3x×(-2)=-6x를 남겼고, 2×3x=6x를 빠뜨렸습니다. 이때 최종식이 틀린 직접적인 원인은 계산 결과의 정리 단계가 아니라, 전개를 시작하기 전에 네 항의 곱을 모두 확인하지 않은 판단이었습니다. 실제로 가운데 두 항은 -6x와 +6x가 되어 서로 없어져야 합니다.

틀린 곳을 넓히지 않고 한 행동만 바꾸기

이미 맞았던 3x×3x와 2×(-2)의 계산은 그대로 두고, 괄호 앞에 작은 표를 만들었습니다.

• 3x×3x=9x²
• 3x×(-2)=-6x
• 2×3x=+6x
• 2×(-2)=-4

그 뒤 네 항을 한 줄에 모았습니다.

9x²-6x+6x-4=9x²-4

교정은 ‘전개할 때 항별 곱 네 개를 빠짐없이 먼저 적는다’는 한 가지 행동에만 한정했습니다. 새로운 공식이나 다른 풀이 방법을 추가하지 않았고, 동류항 정리도 원래 하던 방식대로 진행했습니다. 특히 -6x와 +6x를 보고 부호가 반대라는 점을 확인한 뒤에야 없앴습니다.

표현을 바꾼 문제에서 다시 선택한 기준

다음 문제는 괄호의 순서와 부호의 위치를 바꾸어 제시했습니다.

(5y-4)(5y+4)를 전개한 식으로 알맞은 것을 고르시오.
① 25y²-16　② 25y²+40y+16　③ 25y²-40y-16

이번에는 첫 식처럼 결과를 기억하려 하지 않고, 먼저 네 곱을 적었습니다.

5y×5y=25y²
5y×4=20y
(-4)×5y=-20y
(-4)×4=-16

따라서 전개식은 25y²+20y-20y-16이고, 가운데 항이 사라져 ①을 선택했습니다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라 뒤 괄호의 부호가 달라지고 선택지 형식으로 질문이 바뀐 상황에서도, ‘각 항을 한 번씩 곱한 뒤 부호를 확인한다’는 기준을 스스로 다시 골랐습니다.

힌트가 사라진 뒤의 검산 기록

마지막에는 새 식을 별도 안내 없이 풀게 했습니다.

(2t+7)(2t-7)을 전개하고, t=3을 대입하여 전개 전후의 값이 같은지 확인하시오.

학생은 다음처럼 기록했습니다.

2t×2t=4t²
2t×(-7)=-14t
7×2t=14t
7×(-7)=-49
∴ 4t²-49

이후 전개 전에는 (6+7)(6-7)=13×(-1)=-13을 계산했고, 전개 후에는 4×9-49=36-49=-13을 얻었습니다. 학생은 “가운데 두 곱은 -14t와 +14t라서 없어지고, t=3을 넣었을 때 원래 식과 전개식의 값이 같으므로 항별 전개와 부호 처리가 맞다”고 설명했습니다. 힌트 없이 새로운 식에서 네 곱을 먼저 고르고, 부호를 남긴 뒤, 같은 값을 대입해 자신의 전개를 검증한 장면입니다.