구지 고3수학과외

사인법칙에서 먼저 걸러야 할 각의 범위

구지 생활권의 학습 공간에서 진행한 한 풀이 기록에는, 계산 자체는 빠르지만 삼각형의 조건을 마지막에 확인하는 습관이 드러났다. 이 사례를 정리한 구지고3수학과외에서는 사인법칙을 식에 대입하는 일보다 먼저, 그 식으로 생긴 각 후보가 실제 삼각형 안에서 허용되는지를 판별하는 데 초점을 맞췄다.

계산보다 앞서 표시한 제한

문제는 삼각형 \(ABC\)에서 \(a=8,\ b=10,\ A=30^\circ\)이고 \(B<90^\circ\)일 때 \(B\)를 구하는 상황이었다. 학생은 시험 종료 20분 전이라는 가정에서도 곧바로

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\), 따라서 \(\sin B=\dfrac{10\cdot\sin30^\circ}{8}=\dfrac58\)

이라고 세 줄 안에 압축했다. 이어 계산기로 \(\arcsin(5/8)\)을 구하고, 풀이를 빨리 끝내려 했다. 첫 식의 근거를 “변 \(a,b\)가 각각 각 \(A,B\)의 맞은편 변이므로 사인법칙을 쓴다”라고 말한 점은 정확했다.

자연스러운 값이 정답을 보장하지 않은 순간

최초의 어긋남은 \(\sin B=\frac58\)에서 나온 두 가능성, 즉 \(B\approx38.7^\circ\)와 \(B\approx141.3^\circ\)를 모두 계산한 뒤에도 문제의 \(B<90^\circ\)를 후보 표에 반영하지 않은 데 있었다. 학생은 두 값 모두 \(런맵 B<180^\circ\)를 만족한다고 보고 답을 두 개 남겼다. 계산 결과가 자연스럽다는 이유로 조건을 식 옆에 따로 보존하지 않은 것이다.

오답 풀이와 해설을 거꾸로 비교하자 차이는 마지막 계산이 아니라 첫 후보 판정에서 생겼음이 보였다. 전체 풀이를 다시 하지 않고, 첫 줄 옆에 “\(B<90^\circ\) → 둔각 후보 제거”를 복원했다. 그러면 \(141.3^\circ\)는 즉시 제외되고 \(B\approx38.7^\circ\)만 남는다. 조건을 하나 뺄 경우 두 후보가 모두 살아난다는 점도 함께 말하게 하여, 조건이 장식이 아니라 결론을 결정하는 장치임을 확인했다.

후보표의 순서를 바꾸어 다시 적용

다음 문제는 \(a=7,\ b=9,\ A=40^\circ\)인 삼각형에서 \(C>70^\circ\)일 때 \(B\)를 구하는 형태였다. 이번에는 제한조건이 \(B\)가 아니라 다른 각에 붙어 있었고, 보기에는 “예각 후보만 검토하라”는 직접적인 표현도 없었다. 학생은 먼저 맞은편 변을 확인한 뒤

\(\sin B=\dfrac{9\sin40^\circ}{7}\approx0.827\)

을 세웠다. 여기서 \(B\approx55.8^\circ\) 또는 \(124.2^\circ\)가 가능하다는 사실을 적고, 각각에 대해 \(C=180^\circ-40^\circ-B\)를 계산했다. 첫 후보는 \(C\approx84.2^\circ\)로 조건을 만족하지만, 둘째 후보는 \(C\approx15.8^\circ\)라서 탈락한다. 숫자와 조건의 위치가 달라졌어도 ‘후보를 만든 뒤 원래 조건으로 제거한다’는 행동은 그대로 유지됐다.

시간을 줄여도 남은 판단

마지막에는 같은 유형을 절반의 시간으로 풀게 하되, 어떤 식을 먼저 쓰고 어느 후보를 버릴지는 알려주지 않았다. 학생은 문제의 각과 맞은편 변을 표시하고, 사인법칙을 세운 뒤 두 각의 가능성을 적었다. 이어 \(런맵 B<180^\circ\)와 별도로 제시된 각의 범위를 대입해 하나씩 지웠다. 정답만 확인한 것이 아니라 “이 후보는 삼각형의 합 조건은 통과하지만 \(B<90^\circ\)에서 탈락한다”라고 오류 위치와 제거 근거를 설명했다. 사인법칙의 계산 속도보다 각의 범위를 첫 식부터 끝까지 추적하는 판단이 새로운 문제에서도 흔들리지 않았다.